Question

如图所示，ABC为光滑轨道，其中AB段水平放置，BC段是半径为R的圆弧，AB与BC相切于B点．A处有一竖直墙面，一轻弹簧的一端固定于墙上，另一端与一质量为M的物块相连接，当弹簧牌原长状态时，物块恰能与固定在墙上的L形挡板相接触于B处但无挤压．现使一质量为m的小球从圆孤轨道上距水平轨道高h处的D点由静止开始下滑，小球与物块相碰后立即共速但不粘连，物块与L形挡板相碰后速度立即减为零也不粘连．（整个过程中，弹簧没有超过弹性限度，不计空气阻力，重力加速度为g）
（1）试求弹簧获得的最大弹性势能．
（2）求小球与物块第一次碰后沿BC上升的最大高h′．
（3）若R＞＞h，每次从小球接触物块至物块撞击L形挡板历时均为△t，则小球由D点出发经多少时间第三次通过B点？

Answer 1

分析：（1）球从D下滑到B与物块碰前，小球机械能守恒定律列式，碰撞过程，小球与滑块系统动量守恒，根据动量守恒定律列式，碰后弹簧压缩到最大程度的过程中，M、m和弹簧的系统机械能守恒，联立方程即可求解；
（2）第一次碰后，小球返回B点的速度仍为v₁，从B向C滑动的最大高度为h′，根据机械能守恒即可求解；
（3）R当R＞＞h，小球在BC上的运动可等效为单摆，其周期为T=2π

R g

，进而求出小球第三次通过B点经过的时间．

解答：解：：（1）球从D下滑到B与物块碰前，小球机械能守恒，有：
mgh=

1

2

m

v

2 0

碰撞过程，小球与滑块系统动量守恒有：
mv₀=（m+M）v₁
碰后弹簧压缩到最大程度的过程中，M、m和弹簧的系统机械能守恒：
E_p=

1

2

（m+M）

v

2 1

解得：E_p=

m2gh

M+m

（2）第一次碰后，小球返回B点的速度仍为v₁，从B向C滑动的最大高度为h′，
根据机械能守恒有：
mgh′=

1

2

m

v

2 1

解得：h′=

m2

(M+m)2

h
（3）R＞＞h，小球在BC上的运动可等效为单摆，
其周期为T=2π

R g

，
分析知小球第三次通过B点经过的时间为t=

3

4

T+△t=

3

2

π

R g

+△t．
答：（1）弹簧获得的最大弹性势能是E_p=

m2gh

M+m

．
（2）小球与物块第一次碰后沿BC上升的最大高是=

m2

(M+m)2

h．
（3）若R＞＞h，每次从小球接触物块至物块撞击L形挡板历时均为△t，则小球由D点出发经

3

2

π

R g

+△t时间第三次通过B点．

点评：本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律的直接应用，知道当R＞＞h，小球在BC上的运动可等效为单摆，难度适中．