Question

4．图（甲）是磁悬浮实验车与轨道示意图，图（乙）是固定在车底部金属框abcd（车厢与金属框绝缘）与轨道上运动磁场的示意图．水平地面上有两根很长的平行直导轨PQ和MN，导轨间有竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场B_l和B₂，二者方向相反．车底部金属框的ad边宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场B_l和B₂同时以恒定速度v₀沿导轨方向向右运动时，金属框会受到磁场力，带动实验车沿导轨运动．设金属框垂直导轨的ab边长L=0.20m、总电阻R=l.6Ω，实验车与线框的总质量m=2.0kg，磁场B_l=B₂=1.0T，磁场运动速度v₀=10m/s．已知悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力f=0.20N，求：

（1）设t=0时刻，实验车的速度为零，求金属框受到的磁场力的大小和方向；
（2）求实验车的最大速率v_m；
（3）实验车以最大速度做匀速运动时，为维持实验车运动，外界在单位时间内需提供的总能量？
（4）假设两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动实验车，当两磁场运动的时间为t=30s时，实验车正在向右做匀加速直线运动，此时实验车的速度为v=4m/s，求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间t₀．

Answer 1

分析 （1）实验车的速度为零，线框相对于磁场的速度大小为v₀，线框中左右两边都切割磁感线，产生感应电动势，由I=$\frac{E}{R}$、E=2BLv₀、F=2BIL，求出此时金属框受到的磁场力的大小F₀，由左手定则判断出其方向；
（2）实验车的最大速率为v_m时相对磁场的速率为v₀-v_m，此时线框所受的磁场力与阻力平衡，由平衡条件求解最大速率v_m；
（3）列车水平向右以速度v做匀速运动时，相对于磁场向左运动，线框所受的安培力与阻力大小相等，根据受力平衡，求出电流I，再根据能量守恒定律E=I²R+fv求出单位时间内需提供的总能量．
（4）为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，t₁时刻金属线圈中的电动势 E=2NBL（at₁-v₁），根据所受的安培力，结合牛顿第二定律求出列车最终的加速度．
从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，t₀时刻金属线圈中的电动势E₀=2NBLat₀，当t₀时刻时安培力增大到与阻力相等，根据安培力等于阻力求出t₀．

解答 解：（1）当试验车速度为零时，线框和磁场的相对速度最大，此时实验车的加速度最大．
此时线框相对于磁场的速度大小为v₀
线框中产生的感应电动势为E₁=2BI₁Lv₀
感应电流为I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
金属框受到的磁场力大小为F₁=2BI₁L
根据牛顿第二定律 F₁-f=ma_m
得a_m=0.4m/s²
根据楞次定律判断，磁场力方向水平向右，所以加速度方向向右．
（2）实验车最大速率为v_m时相对磁场的切割速率为v₀-v_m，则此时线框所受的磁场力大小为 F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-v）}{R}$
此时线框所受的磁场力与阻力平衡，得：F=f
 v_m=v₀-$\frac{Rf}{4{B}^{2}{L}^{2}}$=（10-$\frac{1.6×0.2}{4×{1}^{2}×0．{2}^{2}}$）m/s=8m/s
（3）克服阻力的功率为
 P₁=fv_m=1.6W                               
当实验车以速度v匀速运动时金属框中感应电流
  I=$\frac{f}{2BL}$=$\frac{0.2}{2×1×0.2}$A=0.5A                  
金属框中的热功率为 P₂=I²R=0.4W              
外界在单位时间内需提供的总能量为E=（P₁+P₂）t=2J 
（4）根据题意分析可得，为实现实验车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同
设加速度为a，则t时刻金属线圈中的电动势
 E=2BL（at-v）
金属框中感应电流 
  I=$\frac{2BL（at-v）}{R}$                    
又因为安培力 F=2BIL=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$
所以对试验车，由牛顿第二定律得
 $\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$-f=ma
得 a=0.6m/s²  
设从磁场运动到实验车起动需要时间为t₀，则t₀时刻金属线圈中的电动势   E₀=2BLat₀
金属框中感应电流 I₀=$\frac{2BLa{t}_{0}}{R}$
又因为安培力 F₀=2BI₀L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$             
对实验车，由牛顿第二定律得：
 F₀=f 
即$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$=f
得：t₀=$\frac{10}{3}$s      
答：（1）设t=0时刻，实验车的速度为零，金属框受到的磁场力的大小为1N，方向水平向右；
（2）实验车的最大速率v_m为8m/s；
（3）实验车以最大速度做匀速运动时，为维持实验车运动，外界在单位时间内需提供的总能量为2J；     
（4）由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间t₀为$\frac{10}{3}$s．

点评 解决本题的关键以磁场为参考系，线圈做切割磁感线运动，产生感应电流，从而受到安培力，在安培力和阻力的作用下运动．