Question

12．如图所示，一等边三角形MNQ的边长为2L，P为MN边的中点．水平线MN以下是竖直向上的匀强电场，三角形MNQ内的区域I有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀；三角形MNQ外、水平线MN以上的区域Ⅱ有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B₀，一带正电的粒子从P点正下方，距离P为L的O点由静止释放，通过电场后粒子以速度v₀从P点沿垂直MN进人磁场区域I；再从NQ边沿垂直NQ边进人区域Ⅱ，最终粒子又回到O点，带电粒子的重力忽略不计．则：
（1）求该粒子的比荷$\frac{q}{m}$和匀强电场的场强大小E；
（2）求该粒子从O点运动再次回到O点的时间T；
（3）若区域Ⅰ内磁感应强度为3B₀，区域Ⅱ内磁场的磁感应强度为1.5B₀，则粒子再次回到O点过程通过的路程是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，圆心为N点，故半径等于PN，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）画出粒子的运动轨迹，根据$t=\frac{θ}{2π}T$求出在磁场中的时间，由平均速度公式求出在电场中的时间．
（3）画出粒子运动的轨迹，分别计算在电场和磁场中的路程，然后相加即可

解答 解：（1）粒子进入磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，轨迹圆心N点，根据几何关系${r}_{1}^{\;}=L$
根据牛顿第二定律，有$q{v}_{0}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得${r}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{0}^{\;}}$
联立以上各式得$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{B}_{0}^{\;}L}$
根据动能定理$qEL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
（2）画出粒子运动轨迹如图1
粒子磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中匀速圆周运动的周期相同，在Ⅰ区和Ⅱ区轨道半径相同
${T}_{0}^{\;}=\frac{2πL}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在磁场Ⅰ中两段圆弧所对的圆心角均为60°，在磁场Ⅱ中圆弧所对的圆心角为300°
粒子在电场中运动的时间$t=\frac{L}{\overline{v}}=\frac{L}{\frac{{V}_{0}^{\;}}{2}}=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在磁场中运动的时间$t′=\frac{420°}{360°}{T}_{0}^{\;}=\frac{7}{6}\frac{2πL}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{7πL}{3{v}_{0}^{\;}}$
粒子从O点到再次回到O点的总时间${t}_{总}^{\;}=t+t′=\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}（\frac{7π}{3}+2）$
（3）若区域Ⅰ内磁感应强度为$3{B}_{0}^{\;}$，在区域Ⅰ中的半径变为原来$\frac{1}{3}$，${r}_{1}^{′}=\frac{L}{3}$
区域Ⅱ内磁感应强度为$1.5{B}_{0}^{\;}$，在区域Ⅱ中的半径变为原来的$\frac{2}{3}$，${r}_{2}^{′}=\frac{2L}{3}$
粒子运动轨迹如图2所示
粒子在磁场区域Ⅰ中运动的路程${s}_{1}^{\;}=3π{r}_{1}^{′}=πL$
粒子在磁场区域Ⅱ中运动的路程${s}_{2}^{\;}=2π{r}_{2}^{′}=\frac{4}{3}πL$
粒子在电场中运动的路程${s}_{3}^{\;}=5L$
粒子从O点到再次回到O点的总路程${s}_{总}^{\;}={s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{s}_{3}^{\;}=\frac{7πL}{3}+5L$
答：（1）求该粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{{v}_{0}^{\;}}{{B}_{0}^{\;}L}$和匀强电场的场强大小E为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）求该粒子从O点运动再次回到O点的时间T为$\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}（\frac{7π}{3}+2）$；
（3）若区域Ⅰ内磁感应强度为3B₀，区域Ⅱ内磁场的磁感应强度为1.5B₀，则粒子再次回到O点过程通过的路程是（$\frac{7πL}{3}+5L$）

点评 本题作为压轴题涉及的每一问之间有一定梯度，第一问和第二问为常规题型，只要有一定的物理功底即可拿到分数，第三问的难度具有一定的选拔性，若想成为优中之优一定要重视数学方法在物理中的应用．