Question

如图所示，半径为R的半圆轨道BC竖直放置．一个质量为m 的小球以某一初速度从A点出发，经AB段进入半圆轨道，在B点时对轨道的压力为7mg，之后向上运动完成半个圆周运动恰好到达C点．试求：
（1）小球上升过程中克服阻力做功；
（2）小球从C点飞出后，触地时重力的功率．

Answer 1

分析：（1）在B点，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球经过B点的速度．小球恰好到达C点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球经过C点的速度．对于小球上升过程中，根据动能定理求解克服阻力做功；
（2）小球在C点飞出后做平抛运动，根据平抛运动的规律求出小球落地时竖直分速度，触地时重力的功率等于重力与竖直分速度的乘积．

解答：解：（1）在B点，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m

v 2 B

R

由题意：F_N=7mg
解得：v_B=

6gR

在C点，由重力提供向心力，同理可得：
mg=m

v 2 C

R

   
解得：v_c=

gR

从B到C的过程，由动能定理得：
W_f-2mgR=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得：W_f=-0.5mgR
故克服阻力做功为0.5mgR．
（2）小球在C点飞出后以v_C做平抛运动，设小球落地时竖直分速度大小为v，则根据平抛运动的规律得：
 竖直方向有：v²=2g?2R
得：v=2

gR

所以小球触地时重力的功率为：P=mgv=2mg

gR

答：（1）小球上升过程中克服阻力做功是0.5mgR；
（2）小球从C点飞出后，触地时重力的功率是2mg

gR

．

点评：本题关键先根据牛顿第二定律求解出B和C两点速度，然后运用动能定理全程列式求解克服阻力做功．求重力的功率时要注意应用竖直分速度．