Question

11．在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿设想，抛出速度很大时，物体就不会落回地面，已知地球半径为R，自转周期为T，地球同步卫星得轨道半径为nR，不计空气阻力，为实现牛顿设想，抛出得速度至少为$\frac{2πnR}{T}\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，需要达到第一宇宙速度，恰好由重力提供向心力，可以求得第一宇宙速度．

解答 解：根据万有引力提供向心力，即$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，其中r=nR
在地球表面附近，万有引力等于重力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{2πnR}{T}\sqrt{n}$
故答案为：$\frac{2πnR}{T}\sqrt{n}$

点评 本题是常见的竖直上抛运动和万有引力的综合应用问题，它们之间联系的桥梁是重力加速度是g．