Question

如图所示，物块质量m=0.5kg（可看作质点），它与木板之间动摩擦因数μ₁=0.5．长L=3m、质量M=2kg的木板，静止于粗糙水平地面上，木板与水平地面间的动摩擦因数μ₂=0.02．现给物块一个初速度v₀，使物块从木板的左端滑上木板，物块刚好不会从木板上滑下．g取10m/s²，求：
（1）物块与木板间相对运动的过程中，物块加速度a₁的大小及木板加速度a₂的大小
（2）物块的初速度v₀．
（3）整个运动过程中水平地面对木板的摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出木板的加速度以及物块的加速度．
（2）木板先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律，结合两者位移之差等于板长求出．
（3）先求出二者相对静止时两者的共同速度，然后根据牛顿第二定律求出木板与木块共同运动的加速度，再根据位移公式求得共同滑行的位移，然后根据动能定理求整个过程中摩擦力做的功．

解答：解：（1）以物块为研究对象，根据牛顿第二定律可得：
F_f1=μ₂mg=ma₁    
代入数据解得：a₁=5m/s²
以木板为研究对象，受力如图．
竖直方向合力为零，可得：F₂=F₁+Mg               
又有F_f2=μ₁F₂                                   
根据牛顿第二定律得：F_f1-F_f2=Ma₂
代入数据解得：a₂=1m/s²                           
（2）当物块滑到木板右端时，两者恰好有共同速度．设运动时间为t₁，物块和木板运动的位移分别为s₁、s₂
根据题意得：v₀-a₁t₁=a₂t₁  s₁-s₂=L 
s₁=v₀t₁-

1

2

a₁t₁²     s₂=

1

2

a₂t₁²                  
代入数据解得：v₀=6m/s
（3）物块相对于木板不滑动时，两者的共同速度为v，
则 v=a₂t₁=1m/s²                                   
设物块与木板共同运动的加速度为a，
对整体由牛顿第二定律得：μ₁（M+m）g=（M+m）a
代入数据解得：a=μ₁g=0.2m/s²                     
共同滑行的位移s=

v2

2a

=2.5m                       
由s₂=

1

2

a₂t₁²解得s₂=0.5m                           
整个运动过程中水平地面对木板的摩擦力所做的功
W=-F_f2（s+s₂）=-μ₁（M+m）g（s+s₂）                  
解得：W=-1.5J
答：（1）物块与木板间相对运动的过程中，物块加速度a₁的大小为5m/s²木板加速度a₂的大小为1m/s²                           
（2）物块的初速度v₀为6m/s．
（3）整个运动过程中水平地面对木板的摩擦力所做的功为-1.5J．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和运动学公式，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．对于第三问抓住临界情况，结合牛顿第二定律求解