Question

16．如图为类似于洛伦兹力演示仪的结构简图，励磁线圈通入电流I，可以产生方向垂直于线圈平面的匀强磁场，其磁感应强度B=kI（k=0.01T/A），匀强磁场内部有半径R=0.2m的球形玻璃泡，在玻璃泡底部有一个可以升降的粒子枪，可发射比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg的带正电的粒子束，粒子加速前速度视为零，经过电压U（U可调节，且加速间距很小）加速后，沿水平方向从玻璃泡圆心的正下方垂直磁场方向射入，粒子束距离玻璃泡底部边缘的高度h=0.04m，不计粒子间的相互作用与粒子重力，则：
（1）当加速电压U=220V，励磁线圈电流强度I=1A（方向如图）时，求带电粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）若仍保持励磁线圈中电流强度I=1A（方向如图），为了防止粒子打到玻璃泡上，加速电压U应该满足什么条件；
（3）调节加速电压U，保持励磁线圈中电流强度I=1A，方向与图中电流方向相反，忽略粒子束宽度，粒子恰好垂直打到玻璃泡的边缘上，并以原速率反弹（碰撞时间不计），且刚好回到发射点，则当高度h为多大时，粒子回到发射点的时间间隔最短，并求出这个最短时间．

Answer 1

分析 （1）应用动能定理，由加速电压得到粒子运动速度；当励磁线圈通往电流I=1A时，先求出线圈中平面的磁感应强度大小，由洛仑兹力提供向心力从而求得粒子做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）由几何关系求得粒子做圆周运动的半径条件，再联立（1）得到的半径表达式求得加速电压的条件；
（3）由粒子碰撞条件得到粒子运动情况及与玻璃泡的碰撞次数，然后根据几何关系求出对应的粒子运动半径即发射点高度，进而求得粒子运动时间．

解答 解：（1）带电粒子经过加速电场加速，得到速度v，所以，由动能定理可得：$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
可解得：$v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$；
励磁线圈中电流为：I=1A时，
线圈平面的磁感应强度为：B=kI=0.01T．
在线圈平面的磁场中，带电粒子所受洛伦兹力作为向心力，则有：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$；
所以有：$r=\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$=$\frac{1}{0.01}\sqrt{\frac{2×200}{1{0}^{8}}}m$=0.2m；
（2）如图所示电流方向，线圈平面的磁感应强度垂直纸面向里；粒子做圆周运动的圆心在玻璃泡圆心所在竖直方向上，
为了使粒子不打到玻璃泡上，由几何关系知道：粒子做匀速圆周运动的半径r′与玻璃泡的半径应满足h+2r′＜2R，
所以，${r}^{'}＜R-\frac{1}{2}h=0.18m$，
又同（1）所似，有$\left\{\begin{array}{l}{{U}^{'}q=\frac{1}{2}m{{v}^{'}}^{2}}\\{B{v}^{'}q=m\frac{{{v}^{'}}^{2}}{{r}^{'}}}\end{array}\right.$，所以，${U}^{'}=\frac{m}{2q}{v}^{'2}=\frac{m}{2q}（\frac{Bq{r}^{'}}{m}）^{2}=\frac{{B}^{2}q}{2m}{r}^{'2}$$＜\frac{0.0{1}^{2}×1{0}^{8}}{2}×0.1{8}^{2}V=162V$；
（3）粒子运动轨迹如图所示，则若粒子与玻璃泡碰撞n次后回到发射点，则每次碰撞粒子做圆周运动转过圆心角$π-\frac{2π}{n}$，
粒子做圆周运动的周期为T，则，粒子回到发射点的时间间隔$t=\frac{n×（π-\frac{2π}{n}）}{2π}T=（\frac{n}{2}-1）T$；
洛伦兹力做向心力，则有：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$；所以，$v=\frac{Bqr}{m}$；
所以，周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
因为n＞2，所以，当n=3时，粒子回到发射点的时间间隔最短，$t=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{Bq}$，此时有：$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{π}{3}=\frac{r}{R}}\\{cos\frac{π}{3}=\frac{R}{R+r-h}}\end{array}\right.$，所以，$\left\{\begin{array}{l}{r=\sqrt{3}R}\\{h=（\sqrt{3}-1）R}\end{array}\right.$．
答：（1）当加速电压U=220V，励磁线圈电流强度I=1A时，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为0.2m；
（2）若仍保持励磁线圈中电流强度I=1A（方向如图），为了防止粒子打到玻璃泡上，加速电压U应该小于162V；
（3）调节加速电压U，保持励磁线圈中电流强度I=1A，方向与图中电流方向相反，忽略粒子束宽度，粒子恰好垂直打到玻璃泡的边缘上，并以原速率反弹（碰撞时间不计），且刚好回到发射点，则当高度h为$（\sqrt{3}-1）R$时，粒子回到发射点的时间间隔最短，这个最短时间为$\frac{πm}{Bq}$．

点评 粒子在磁场中的运动问题，要充分利用角度关系、对称关系等几何关系，最好画图解析，使得关系更清晰、明确．