Question

1．总质量为m的一颗返回式人造地球卫星沿半径为R的圆轨道绕地球运动到P点时，接到地面指挥中心返回地面的指令，于是立即打开制动火箭向原来运动方向喷出燃气以降低卫星速度并转到跟地球相切的椭圆轨道，如图所示，要使卫星对地速度将为原来的$\frac{8}{9}$，卫星在P处应将质量为△m的燃气以多大的对地速度向前喷出？（将连续喷气等效为一次性喷气，地球半径为R₀，地面重力加速度为g）

Answer 1

分析 先根据万有引力等于向心力，以及万有引力等于重力，求出卫星原来的速度，再由动量守恒定律求解．

解答 解：对地面上的物体，根据重力等于万有引力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$…①
设卫星原来的线速度大小为v．由万有引力提供向心力，则得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②两式，可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$…③
取卫星原来的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv=（m-△m）$\frac{8}{9}$v+△mv′④
由③④解得：v′=$\frac{m+8△m}{9△m}$$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$
答：卫星在P处应将质量为△m的燃气以$\frac{m+8△m}{9△m}$$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$的对地速度向前喷出．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力进行列式求解卫星的速度．