Question

如图所示，两根相距为d=0.2m的足够长的平行金属导轨位于水平的xy平面内，一端接有阻值为R=10Ω的电阻，在x＞0的一侧存在竖直向下且沿y方向均匀的磁场，磁感应强度B随x的增大而增大，且B=kx，式中常量k=l00T/m，一质量为m=lkg的金属直杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动，当t=0时位于x=0处，速度为v₀=0.2m/s，方向沿x轴的正方向，在运动过程中，有一大小可调节的外力F作用于金属杆以保持金属杆的加速度大小恒为a=0.1m/s²，方向沿x轴的负方向，设除外接的电阻R外，所有其它电阻都可以忽略，求：
（1）电路中感应电流持续的时间；
（2）当金属杆的速度大小为v=0.1m/s时，回路中的感应电动势；
（3）1s时刻施加于金属杆的外力F．

Answer 1

分析：（1）回路中有感应电流的时间是向右做匀减速直线运动到零然后返回做匀加速直线运动到离开磁场的时间，结合运动学公式求出感应电流持续的时间．
（2）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出速度减为v=0.1m/s经过的位移，从而得出此时的磁感应强度大小，结合切割产生的感应电动势公式求出回路中的感应电动势大小．
（3）根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解1s时刻施加于金属杆的外力F．

解答：解：金属杆在导轨上先做加速度为a的匀变速直线运动（类竖直上抛运动），运动到最远处速度为零，当过了原点O后，由于离开了磁场区，故回路中不再有感应电流．因而该回路中感应电流的持续时间等于做在磁场区内做匀变速直线运动的时间．
（1）设t₁为在磁场区内向右做匀减速直线运动的时间，则
  v₀-at₁=0…①
感应电流的持续时间
  T=2t₁=

2v0

a

…②
  T=4s
（2）设x₁为金属杆的速度大小为v₁=0.1m/s时它所在的坐标
  v

2 1

-v

2 0

=2ax₁…③
 则得：x₁=0.15m… ④
此时回路中的感应电动势
 ?=Bdv=kx₁dv₁…⑤
代人数据解得：?=0.3V…⑥
（3）由牛顿第二定律得：
 F+BdI=ma…⑦
 I=

Bdv

R

…⑧
又 x=v₀t-

1

2

at²… ⑨
 v=v₀-at…⑩
得：F=ma-

[k(v0t- 1 2 at2)d]2(v0-at)

R

=0.01N
答：（1）电路中感应电流持续的时间为4s；
（2）当金属杆的速度大小为v=0.1m/s时，回路中的感应电动势为0.3V；
（3）1s时刻施加于金属杆的外力F为0.01N．

点评：解决本题的关键知道回路中有感应电流的过程，结合切割产生的感应电动势公式、运动学公式、牛顿第二定律进行求解．