Question

如图所示，圆心为原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₁．平行于x轴的荧光屏垂直于xOy平面，放置在直线y=﹣R的位置．一束质量为m、电荷量为q、动能为E₀的带正电粒子从坐标为（﹣R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部垂直打在荧光屏上坐标为（R，﹣R）的M点．若在区域Ⅱ内加上方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₂，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为（2R，﹣R）的N点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用．

（1）求打在M点和N点的粒子的运动速度v₁、v₂的大小；

（2）求区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向；

（3）在（2）的情况下，若没有荧光屏，则粒子是否能回到A点？若能回到A点，求出粒子从A点出发，经多长时间回到A点；若不能回到A点，请简要说明理由．

Answer 1

（1）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为E₀，速度v₁、v₂大小相等，均设为v，则由E₀=mv²

得：v=．

即v₁=v₂=．

（2）如图所示，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动后打在M点，轨迹圆心是O₁点，根据几何知识，可知OM与y轴负方向的夹角为30°，粒子在区域Ⅰ中运动的半径为：r₁=R

区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O₂点，半径为r₂，解得：r₂=R

由qvB=m

可得：B₁=B₂=，B₁的方向垂直xOy平面向外．B₂的方向垂直xOy平面向里．

（3）根据几何关系，O₂点在x轴上，根据对称性可知，粒子能回到A点

粒子在区域Ⅱ运动时间为T

粒子在区域Ⅰ运动时间为T

则粒子回到A点的时间为 t=T+T=T==

答：

（1）打在M点和N点的粒子的运动速度v₁、v₂的大小均为．

（2）区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小均为，B₁的方向垂直xOy平面向外．B₂的方向垂直xOy平面向里．

（3）粒子能回到A点，粒子回到A点的时间为．