Question

如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁=B₂=1T，电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为m=5×10³kg，所受阻力大小为F_f=500N，金属框垂直轨道的边长为L_cd=2m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框整个回路的电阻为R=1.0×10^-3Ω，问：
（1）假如两磁场始终竖直向上做匀速运动．设计要求电梯以v₁=10m/s的速度向上匀速运动，那么，磁场向上运动的速度v₀应该为多大？
（2）假如t=0时两磁场由静止开始向上做匀加速运动，加速度大小为a=1.5m/s²，电梯可近似认为过一小段时间后也由静止开始向上做匀加速运动，t=5s末电梯的速度多大？电梯运动的时间内金属框中消耗的电功率多大？从电梯开始运动到t=5s末时间内外界提供给系统的总能量为多大？

Answer 1

分析：（1）电梯受三个力作用：重力，阻力，安培力，要想匀速运动则要求安培力要克服重力和阻力．据此可以求的磁场速度
（2）①由磁场的运动可以求得安培力，进而由牛顿第二定律求恶的电梯的加速度，之后可得5s末的速度．
②由磁场速度减电梯速度可以得到金属矿相对磁场的速度，进而可以求的金属框中的电流，然后可以求的功率．
③由能量守恒可知外界提供的能量应为：电梯动能增加，重力势能增加，克服阻力的功，以及产生的电热等四者之和．

解答：解：（1）电梯向上匀速运动时，框中感应电流大小为I=

2B1Lcd(v0-v1)

R

金属框所受安培力F=2B₁IL_cd
安培力大小与重力和阻力之和相等，所以F=mg+F_f
即

4B12Lcd2(v0-v1)

R

=mg+Ff
得：v₀=13.2m/s
（2）电梯向上匀加速运动时，金属框中感应电流大小为  I=

2B1Lcd(v2-v1)

R

金属框所受安培力F=2B₁IL_cd
由牛顿定律得：F-mg-F_f=ma
 即   

4B12Lcd2(at-v1)

R

-mg-Ff=ma   
解得：v₁=3.9m/s
金属框中感应电流为：I=I=

2B1Lcd(at-v1)

R

=1.44×10⁴A
A金属框中的电功率为：P₁=I²R=2.07×10⁵W
电梯上升高度为：h=

v12

2a

=5.07m
上升时间为：t′=

v1

a

=2.6s
外界提供的总能量为E=mgh+F_fh+

1

2

mv₁²+P₁t′=8.3×10⁵J
答：
（1）v₀=13.2m/s
（2）5s末速度为：3.9m/s
金属框中的电功率为：2.07×10⁵W
外界提供的总能量为：8.3×10⁵J

点评：本题第二大问的第三小问是比较容易出错的，外界提供的能量转化的方式比较多，所以容易遗漏．