Question

5．“嫦娥三号”探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道，并在月球成功地进行了一系列研究．为人类征服太空奠定基础，“嫦娥四号”择日发射，若把探测器环月运行轨道可视为圆轨道，忽略地球及其他天体的引力对探测器的影响，设探测器环月运行轨道半径为r，月球半径为R，运行周期为T，引力常量为G，求：
（1）探测器绕月运行的速度的大小；
（2）探测器绕月运行的加速度的大小；
（3）月球的质量．

Answer 1

分析 （1）根据线速度与周期的关系，结合周期和轨道半径的大小求出探测器的线速度大小；
（2）根据向心加速度与周期的关系公式求出加速度的大小；
（3）根据万有引力提供向心力，结合探测器的轨道半径和周期求出月球的质量．

解答 解：（1）探测器绕月运行的速度大小v=$\frac{2πr}{T}$；
（2）探测器绕月运行的加速度大小a=$r（\frac{2π}{T}）^{2}=\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$；
（3）设月球的质量为M，探测器的质量为m，探测器运行时月球对它的万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
答：（1）探测器绕月运行的速度的大小为$\frac{2πr}{T}$；
（2）探测器绕月运行的加速度的大小为$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$；
（3）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、向心加速度、周期等物理量之间的关系，并能灵活运用．