Question

如图所示，三角形ABC为一等腰直角三棱镜的主截面．令一单色光线DE平行于AB面从空气中自AC面射入，经AB面反射后从BC面射出，FG为出射光线．
（1）试用几何作图法在图中画出在棱镜内的光路走向；
（2）证明：射到AB面上的光线一定发生全反射．

Answer 1

分析：（1）因为折射光线在AB面上发生全反射，根据反射定律，通过作出虚像的方法作出反射光线．
（2）结合数学几何关系，通过折射定律证明出光线在AB面上的入射角的正弦大于折射率的倒数，即可得知射到AB面上的光线一定发生全反射．

解答：解：（1）设DE与AC的交点为O₁，FG与BC的交点为O₂，过O₁作关于AB的对称点O₃，连接O₂O₃与AB的交点为DE的折射光线与AB的交点．如图所示．
（2）设棱镜的折射率为n，设∠MO₁P为r，∠MPO₁=α，设O₁P在AB面上的入射角为i′，对于△PO₁M，∠AMO₁=r+α．
即45°=r+α=r+（90°-i′），所以i′=45°+r
则sini′=sin（45°+r）=sin45°cosr+cos45°sinr．  ①
又n=

sini

sinr

=

sin45°

sinr

，则sinr=

2

2n

．  ②
cosr=

1-sin2r

=

2n2-1 2n2

③
将②③两式代入①式，sini′=

2n2-1 +1

2n

由于n＞1，

2n2-1

+1＞2
则sini′＞

1

n

，射到AB面上的光线一定发生全反射．
答：（1）光路图如图所示．
（2）证明如上．

点评：本题考查了光的折射定律，以及全发射的知识，对数学能力要求较高，需加强训练．