Question

如图甲所示，一竖直平面内的轨道由粗糙斜面 AD 和光滑圆轨道DCE 组成，AD与DCE 相切于D点，C为圆轨道的最低点．将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止下滑，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N，改变H 的大小，可测出相应的N 大小，N随H的变化关系如图乙图中折线PQI 所示（PQ与QI 两直线相连接于Q点），QI反向延长交纵轴于F点（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小物块的质量m；
（2）圆轨道的半径及轨道DC所对圆心角?（可用角度的三角函数值表示）；
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数??．

Answer 1

分析：（1）从图象得到H=0时的弹力，即为物体的重力，从而得到物体的质量m；
（2）结合图象可以得到当H=0.2m时，物体恰好在斜面最低点，根据机械能守恒定律和向心力公式联立列式求解出圆轨道的半径R，然后可根据几何关系得到轨道DC所对圆心角；
（3）对滑块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力的一般表达式，再根据图象求解出动摩擦因素．

解答：解：（1）由图线知：当H₁=0时，N₁=5N，此时N₁=mg    故m=0.5kg
即小物块的质量m为0.5kg．
（2）由图线知：当H₂=0.2m时，N₂=7N，此时小物块恰好由D点下滑
由mgH2=

1

2

m

v

2 2

和N2-mg=m

v 2 2

R

得R=1m
cosθ=

R-H

R

=0.8
即θ=arc0.8=37°
即圆轨道的半径为1m，轨道DC所对圆心角为37°．
（3）小球从高为H处的斜面上滑到最低点过程．根据动能定理，有
mgH-μmgcosθ

H-R(1-cosθ)

sinθ

=

1

2

mv2
在最低点，支持力和重力的合力提供向心力，有
N-mg=m

v2

R

解得
N=

2mg

R

(1-

μcosθ

sinθ

)H+mg[1+

μ(1-cosθ)cosθ

sinθ

]
由图线知，截距mg[1+

μ(1-cosθ)cosθ

sinθ

]=5.8
解得μ=0.3
即小物块与斜面AD间的动摩擦因数为0.3．

点评：本题关键是对分析清楚滑块的各个运动过程，然后运用动能定理、机械能守恒定律和向心力公式，结合图象联立方程组求解．