Question

如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B（都可视为质点）静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A产生沿x轴正方向大小为F的恒力，以后两小球发生正碰过程时间很短，不计它们碰撞过程的动能损失．



（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是多少？
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），求满足下列条件的L值
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞．

Answer 1

（1）A第一次碰前速度设为v₀
动能定理：Fl=

1

2

m

v

20

-0
A与B碰撞，动量守恒，
则mv0=mvA′+mvB′
根据题意，总能量不损失，
则

1

2

mv02=

1

2

mvA 2+

1

2

mvB 2
联立解得vA′=0，vB′=v0=

2Fl m

（2）①对质点A：
第一次碰前：v₀=at₀
l=

1

2

at02
第一次碰后到第二次碰前过程：
第二次碰前速度 v_A1=at₁
sA1=

1

2

at12
对质点B：
第一次碰后到第二次碰前过程：s_B1=v₀t₁
由于s_A1=s_B2
解得：t₁=2t₀，v_A1=2v₀，s_A1=s_B1=4l
则要使质点A、B刚好能够发生两次碰撞，L=l+4l=5l
②质点A、B第二次碰前速度分别为2v₀、v₀，碰后速度分别设为v″_A和v″_B
动量守恒：m?2v₀+mv₀=mv″_A+mv″_B
能量关系：

1

2

m(2v0)2+

1

2

m

v

20

=

1

2

m

v″

2A

+

1

2

m

v″

2B

解得：v″_A=v₀，v″_B=2v₀
对质点A：
第二次碰后到第三次碰前：v_A2=v₀+at₂
sA2=v0t+

1

2

at22
对质点B：
第二次碰后到第三次碰前：s_B2=2v₀t₂
由于s_A2=s_B2
解得：t₂=2t₀，v_A2=3v₀，s_A2=s_B2=8l
综上，质点A、B每次碰撞过程总是要交换速度；每次碰撞间隔时间都为2t₀；
每次碰撞后的相同时间间隔内，质点A速度增加2v₀，质点B速度不变
可得：每次碰撞位置间隔：4l、8l、12l…（n-1）4l
则要使质点A、B刚好能够发生n次碰撞：L=l+4l+8l+12l+…+（n-1）l=（2n²-2n+1）l（n=1，2，3…）        
答：（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是vA′=0，vB′=

2Fl m

．
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞，L=5l；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞L=（2n²-2n+1）l（n=1，2，3…）．