Question

（2012?通州区模拟）天体的质量大都是“天文数字”，是无法进行称量的．但是物理学家依据物理规律，用一支笔、一张纸就可以计算出遥远而巨大的天体质量，你不觉得物理很神奇吗？现在给出以下数据：

万有引力常量G

地球的半径R，地球表面的重力加速度g，地球的自转周期T0

第一宇宙速度v

地球同步卫星，距离地面的高度为H

绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，到地球表面的高度为h1，运行周期为T1

月球到地面的距离h2，月球的公转周期T2

地心到太阳中心的距离r，地球的公转周期T

请你在以上所给的已知数据中，任意选择合适的数据，建立恰当的物理模型，用你手中的笔和纸，计算出地球的质量，写出地球质量的表达式．
要求至少写出两种方法．

Answer 1

分析：这是一个开放性试题，根据题中所给条件，有多种方法可以计算出地球质量．一类方法是利用地球表面重力等于万有引力；第二类方法是卫星的万有引力提供向心力．

解答：解：方法一：利用地球半径R和地球表面的重力加速度g计算．设地球质量为M，不考虑地球自转时，地面上物体所受重力就是万有引力：mg=G

mM

R2

，则：M=

gR2

G

；
方法二：利用第一宇宙速度v和地球的半径R计算．人造地球卫星环绕地球表面运行时，轨道半径是R，向心力是万有引力：G

mM

R2

=m

v2

R

，则：M=

Rv2

G

；
方法三：利用绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星计算．卫星到地球表面的高度为h₁，运行周期为T₁；人造地球卫星绕地球运行时，向心力是万有引力：G

mM

(R+h1)2

=m(

2π

T 2 1

)2(R+h1)，则：M=

4π2(R+h1)3

GT12

；
方法四：利用地球同步卫星．同步卫星距离地面的高度为H，运行周期与地球的自转周期T₀相同，同步卫星绕地球做圆周运动向心力是万有引力：G

mM

(R+H)2

=m(

2π

T 2 0

)2(R+H)，则：M=

4π2(R+H)3

GT02

；
方法五：利用月球计算．月球到地面的距离h₂，月球的公转周期T₂；月球绕地球做圆周运动向心力是万有引力：G

mM

(R+h2)2

=m(

2π

T 2 2

)2(R+h2)，则：M=

4π2(R+h2)3

GT22

；
答：方法如上．

点评：本题关键明确卫星的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；也可以利用重力加速度的表达式进行测量．