Question

2．质量为m的带正电粒子，电荷量为q，不计重力，以速度v₀从y轴上的a点射入图中第一象限，v₀与y轴成30°角，为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 由题意分析粒子的运动过程，明确粒子运动可能的轨迹；再根据牛顿第二定律求出半径；明确圆形磁场区域的最小面积是以磁场中圆周运动轨迹对应弦为直径的圆．

解答 解：根据牛顿第二定律：qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
则粒子在磁场中做圆周的半径R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
根据题意，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于R的圆上的$\frac{1}{3}$圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示，

则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R的O′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆上
的圆弧ef，而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e、f两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef连线为直径的圆周．
即得圆形区域的最小半径r=Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$
则这个圆形区域磁场的最小面积S_min=πr²=$\frac{3}{4}$π（$\frac{m{v}_{0}}{qB}$）²
答：这个圆形区域磁场的最小面积为$\frac{3}{4}$π（$\frac{m{v}_{0}}{qB}$）²．

点评 本题考查磁场区域面积的极值问题，此题的关键是确定出圆心，明确粒子可能的运动轨迹，且从a到b有圆周运动和一段直线运动．