Question

如图所示，矩形区域I和II内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场（AA′、BB′、CC′、DD′为磁场边界，四者相互平行），磁感应强度大小均为B，矩形区域的长度足够长，两磁场宽度及BB′与CC′之间的距离均相同．某种带正电的粒子从AA′上O₁处以大小不同的速度沿与O₁A成α=30°角进入磁场（如图所示，不计粒子所受重力），当粒子的速度小于某一值时，粒子在区域I内的运动时间均为t₀．当速度为v₀时，粒子在区域I内的运动时间为

t0

5

．求：
（1）粒子的比荷

q

m

；
（2）磁场区域I和II的宽度d；
（3）速度为v₀的粒子从O_l到DD′所用的时间．

Answer 1

分析：（1）当粒子的速度小时，粒子做圆周运动的半径小，此时粒子全部在区域I中运动，由粒子的运动的时间和几何关系可以求得粒子的比荷；
（2）根据粒子在区域I内的运动时间为

t0

5

，分析可以知道粒子穿出BB′时速度方向与BB′垂直，由圆周运动的半径和几何关系可以求得磁场的宽度d；
（3）根据粒子运动的对称性可以求得在区域I和II的时间是相同的，在中间的无磁场的区域是匀速直线运动，把三个区域的时间加起来即可．

解答：解：（1）若速度小于某一值时粒子不能从BB′离开区域I，只能从AA′边离开区域I．则无论粒子速度大小，在区域I中运动的时间相同．轨迹如图所示（图中只画了一个粒子的轨迹）．则粒子在区域I内做圆周运动的圆心角为φ=300°，
由 Bqv=m

v2

R

   T=

2πR

v

          
得：粒子做圆周运动的周期T=

2πm

qB

．
由t₀=

5

6

T=

5πm

3qB

        
解得：

q

m

=

5π

3t0B

．
所以粒子的比荷为

q

m

=

5π

3t0B

．
（2）速度为v₀时粒子在区域I内运动时间为

t0

5

，设轨迹所对圆心角为φ₂．
由t₀=

T

2π

φ₁     

t0

5

=

T

2π

φ2     
得：φ₂=

1

5

φ1=60°．
所以其圆心在BB′上，穿出BB′时速度方向与BB′垂直，其轨迹如图所示，
设轨道半径为R，由qv₀B=m

v02

R

      
得：R=

mv0

qB

=

3t0

5π

v₀        d=Rsin60°=

3 3 v0t0

10π

．
磁场区域I和II的宽度d为

3 3 v0t0

10π

．
（3）区域I、II宽度相同，则粒子在区域I、II中运动时间均为

t0

5

，
穿过中间无磁场区域的时间为t′=

d

v0

=

3 3 t0

10π

，
则粒子从O₁到DD′所用的时间t=

2t0

5

+

3 3 t0

10π

．
所以速度为v₀的粒子从O_l到DD′所用的时间为

2t0

5

+

3 3 t0

10π

．

点评：带电粒子在匀强磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的分析是解题的关键．