Question

13．深空探测一直是人类的梦想．2013年12月14日“嫦娥三号”探测器成功实施月面软着陆，中国由此成为世界上第3个实现月面软着陆的国家．如图所示为此次探测中，我国科学家在国际上首次采用的由接近段、悬停段、避障段和缓速下降段等任务段组成的接力避障模式示意图．请你应用学过的知识解决下列问题．
（1）已知地球质量约是月球质量的81倍，地球半径约是月球半径的4倍．将月球和地球都视为质量分布均匀的球体，不考虑地球、月球自转及其他天体的影响．求月球表面重力加速度g_月与地球表面重力加速度g的比值．
（2）由于月球表面无大气，无法利用大气阻力来降低飞行速度，我国科学家用自行研制的大范围变推力发动机实现了探测器中途修正、近月制动及软着陆任务．在避障段探测器从距月球表面约100m高处，沿与水平面成45°夹角的方向，匀减速直线运动到着陆点上方30m高处．已知发动机提供的推力与竖直方向的夹角为θ，探测器燃料消耗带来的质量变化、探测器高度变化带来的重力加速度g_月的变化均忽略不计，求此阶段探测器的加速度a与月球表面重力加速度g_月的比值．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，求出月球表面重力加速度g_月与地球表面重力加速度g的比值．
（2）作出探测器的受力分析图，结合三角形定则，通过几何关系求出探测器的加速度a与月球表面重力加速度g_月的比值．

解答 解：（1）根据万有引力提供星球表面的重力可知，由黄金代换式有：
$g{{R}_{地}}^{2}=G{M}_{地}$，
${g}_{月}{{R}_{月}}^{2}=G{M}_{月}$，
则有：$\frac{{g}_{月}}{g}=\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}\frac{{{R}_{地}}^{2}}{{{R}_{月}}^{2}}=\frac{1}{81}×\frac{16}{1}=\frac{16}{81}$．
（2）根据题目条件画出受力分析如图1所示，由矢量运算法则画出三角形如图2所示．由正弦定理可得：
$\frac{m{g}_{月}}{sin（45°-θ）}=\frac{ma}{sinθ}$，
解得：$\frac{a}{{g}_{月}}=\frac{sinθ}{sin（45°-θ）}$．
答：（1）月球表面重力加速度g_月与地球表面重力加速度g的比值为16：81．
（2）此阶段探测器的加速度a与月球表面重力加速度g_月的比值为$\frac{sinθ}{sin（45°-θ）}$．

点评 本题考查了万有引力定律与动量定理、能量守恒的基本运用，本题题干较长，关键能够从题干中获取有用的信息，这是解决本题的关键地方．