Question

2．如图甲所示是某同学设计的一种振动发电装置的示意图，它的结构是一个套在辐向形永久磁铁槽中的半径为r=0.10m、匝数n=100的线圈，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布（其右视图如图乙所示）．在线圈所在位置磁感应强度B的大小均为B=$\frac{\sqrt{2}}{π}$T，线圈的电阻为R₁=0.50Ω，它的引出线接有R₂=9.5Ω的小电珠L．外力推动线圈框架的P端，使线圈沿轴线做往复运动，便有电流通过电珠．当线圈运动速度v随时间t变化的规律如图丙所示时（摩擦等损耗不计），从t=0时刻开始计时．求：
（1）写出线圈中产生的感应电动势的瞬时值表达式以及电压表中的示数；
（2）通电40s小电珠L消耗的电能；
（3）t=0.1s时外力F的大小．

Answer 1

分析 （1）当线圈运动速度v最大时，线圈产生的感应电动势最大，感应电流达到最大．线圈做切割磁感线产生的感应电动势E=2nπrBv，求出感应电动势的最大值，再由欧姆定律求解小电珠中电流的最大值．线圈中产生的是正弦式电流，电压表测量灯泡电压的有效值．由电流最大值求出电压的最大值，再求解有效值，从而求得电压表的示数．
（2）根据焦耳定律求解产生的热量；
（3）线圈做简谐运动，t=0.1s时线圈通过平衡位置，外力等于安培力．

解答 解：（1）电动势最大值${E}_{m}=nBL{v}_{m}=nB•2πr•{v}_{m}=40\sqrt{2}V$  
线圈转动的角速度$ω=\frac{2π}{T}=5π\\;rad/s$   
电动势的瞬时值$e=40\sqrt{2}sin5πt\\;（V）$  
电动势的有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{2}}V=40V$
电流的有效值$I=\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}=\frac{40}{0.5+9.5}A=4A$   
电压表的示数U=IR₂=4×9.5V=38V    
（2）根据焦耳定律可得：$Q={I}^{2}{R}_{2}t={4}^{2}×9.5×40J=6080J$
（3）t=0.1s时$e={E}_{m}=40\sqrt{2}V$   
电流强度i=I_m=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}=\frac{40\sqrt{2}}{10}A=4\sqrt{2}A$
此时线圈的速度最大而加速度为零，
则：F=F_A=nBI_m•2πr=100×$\frac{\sqrt{2}}{π}$×$4\sqrt{2}$×2×π×0.1N=160N．
答：（1）线圈中产生的感应电动势的瞬时值表达式为$e=40\sqrt{2}sin5πt\\;（V）$，电压表中的示数为38V；
（2）通电40s小电珠L消耗的电能为6080J；
（3）t=0.1s时外力F的大小为160N．

点评 本题考查导线切割磁感线产生感应电动势公式及正弦式电流有效值与最大值之间的关系，关键是电动势的大小表达式．