Question

11．如图在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，同时另一质点B自静止开始由斜面底端向左以恒定加速度沿光滑水平面运动，A滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝B追去，则质点A在光滑斜面下滑时的加速度大小为gsinθ；为使A能追上B，B的加速度最大值为$\frac{1}{2}gsinθ$．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出A下滑的加速度大小．B做加速度为a的匀加速直线运动，A先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，A要追上B，则追上B时的速度必大于等于B的速度．求出临界情况，即当B的加速度最大时，此时A追上B时，两者速度恰好相等．根据位移关系，根据运动学公式去求加速度的最大值．

解答 解：A滑到底端后做匀速直线运动，在B的速度小于A之前，两者距离越来越小，若速度相等直线未追上B，速度相等后不会追上，因为AB距离又越来越大，可知A要追上B，则追上B时的速度必大于等于B的速度．
设A滑到底端的速度为v_A，滑到底端的时间为t₁，A追上B所用的时间为t．临界情况为当B的加速度最大时，此时A追上B时，两者速度恰好相等．
速度相等时，根据平均速度公式，B的位移${x}_{B}=\frac{{v}_{A}}{2}t$
 A做匀速运动的位移x_A=v_A（t-t₁）
A追上B时，有x_B=x_A，即$\frac{{v}_{A}}{2}t={v}_{A}（t-{t}_{1}）$，解得${t}_{1}=\frac{t}{2}$
A做匀加速运动的加速度${a}_{A}=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$，又${a}_{A}=\frac{{v}_{A}}{{t}_{1}}=\frac{2{v}_{A}}{t}$，
B做匀加速直线运动的加速度${a}_{B}=\frac{{v}_{A}}{t}=\frac{{a}_{A}}{2}=\frac{1}{2}gsinθ$．
故答案为：gsinθ，$\frac{1}{2}$gsinθ

点评 解决本题的关键知道要追上B，则追上B时的速度必大于等于B的速度．然后根据临界情况去解决问题，即当B的加速度最大时，此时A追上B时，两者速度恰好相等．