Question

（2006?连云港三模）如图所示，矩形导线框abcd固定在水平面上，ab=L、bc=2L，整个线框处于竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中．导线框上ab、cd段电阻不计，bc、ad段单位长度上的电阻为λ．今在导线框上放置一个与ab边平行且与导线框接触良好的金属棒MN，其电阻为r（r＜λL）．金属棒在外力作用下沿x轴正方向做速度为v的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（x=0）运动到最右端的过中：
（1）请导出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关式；
（2）通过分析说明金属棒在运动过程中，MN两点间电压  有最大值，并求出最大值U_m；
（3）金属棒运动过程中，在什么位置MN的输出功率最大？并求出最大输出功率P_m．

Answer 1

分析：（1）金属棒在外力作用下沿x轴正方向匀速运动的过程中，产生的感应电动势为E=BLv．根据串、并联关系求出外电路总电阻与x的关系，由闭合电路欧姆定律得到感应电流I与x的函数关系式．
（2）当外电路总电阻最大时，MN间的电压最大，此时MN运动到bc、ad两边的中线，求出感应电流，由欧姆定律求得M、N间电压最大值U_m．
（3）当外电路电阻等于电源的内阻时，MN输出功率最大，由功率公式求出最大输出功率P_m．

解答：解：（1）当金属棒运动到x处时，外电路总电阻为R=

2xλ?(2L-x)λ

2xλ+(2L-x)λ

=

xλ(2L-x)

L

  ①
  MN产生的感应电动势为E=BLv  ②
则金属棒中的感应电流I=

E

R+r

  ③
由①②③整理得
   I=

BL2V

λx(2L-x)+Lr

（2）当MN运动到bc、ad两边的中线时，外电路总电阻最大，MN两点间电压 有最大值．
此时x=L，电流I=

BLv

λL+r

最大值U_m=E-IλL=

BL2vλ

r+λL

（3）当R=rL时，MN的输出功率最大，
即有 

xλ(2L-x)

L

=L
解得  x=L±

L2- Lr λ

最大输出功率P_m=(

E

2r

)2r=

B2L2V2

4r

答：
（1）金属棒中的感应电流I随x变化的函数关式是I=

BL2V

λx(2L-x)+Lr

；
（2）MN两点间电压有最大值，最大值U_m为

BL2vλ

r+λL

．
（3）金属棒运动过程中，在x=L±

L2- Lr λ

位置MN的输出功率最大，最大输出功率P_m为

B2L2V2

4r

．

点评：本题是电磁感应中电路问题，要理解并掌握路端电压与外电阻的关系，熟记重要结论：当外电路电阻等于电源的内阻时，电源的输出功率最大．