Question

13．如图所示转架，长为L的杆臂与竖直轴间固定，夹角θ=45°，杆臂下端固定质量为m的重球，当杆臂随竖直轴一起以如下角速度ω匀速转动时，求杆臂对球的作用力．
（1）ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$；
（2）ω₂=$\sqrt{\frac{g}{2L}}$．

Answer 1

分析 首先对重球进行受力分析，重球受两个力，一是重力，二是杆对重球的作用力；无论球怎么转动，在竖直方向上合力是为零的，即为杆对重球的作用力在竖直方向上的分力与重力大小相等，方向相反；杆对重球的作用力在水平方向上的分力提供向心力；先根据角速度的大小，求得向心力的大小，利用力的合成与分解即可得知杆臂对球的作用力大小，几何几何关系可求得力的方向．

解答 解：对球受力分析，受重力和杆的作用力，杆对球的作用力在竖直方向上的分量与重力大小相等，方向相反；杆对球的作用力在水平方向上的分量提供向心力．求做匀速圆周运动的半径为R=Lsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
（1）、当角速度为ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$时，重球需要的向心力为：F_向1=mω₁²R=m×（$\sqrt{\frac{2g}{L}}$）²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L=$\sqrt{2}$mg
杆臂对球的作用力为：F₁=$\sqrt{{F}_{向1}^{2}+（mg）^{2}}$=$\sqrt{3}$mg
设与水平方向的夹角为r，有：sinr=$\frac{mg}{\sqrt{3}mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以有：r=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）、当角速度为ω₂=$\sqrt{\frac{g}{2L}}$时，重球需要的向心力为：F_向2=mω₂²R=m×（$\sqrt{\frac{g}{2L}}$）²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L=$\frac{\sqrt{2}}{4}$mg
杆臂对球的作用力为：F₂=$\sqrt{{F}_{向2}^{2}+（mg）^{2}}$=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$mg
设与水平方向的夹角为r′，有：sinr′=$\frac{mg}{\frac{3}{4}\sqrt{2}mg}$=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
所以有：r′=arcsin（$\frac{2}{3}\sqrt{2}$）
答：（1）当加速度为ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$时，杆臂对球的作用力为$\sqrt{3}$mg，与水平方向上的夹角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）当加速度为ω₂=$\sqrt{\frac{g}{2L}}$时，杆臂对球的作用力为$\frac{3}{4}\sqrt{2}$mg，与水平方向上的夹角为arcsin（$\frac{2}{3}\sqrt{2}$）

点评 向心力是从力的作用效果来命名的，因为它产生指向圆心的加速度，所以称它为向心力．它不是具有确定性质的某种类型的力．相反，任何性质的力都可以作为向心力．实际上它可是某种性质的一个力，或某个力的分力，还可以是几个不同性质的力沿着半径指向圆心的合外力．
同时要熟练的掌握向心力的表达式：F_向=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=4mπ²f²R=mω²v=4π²mn²R
其中：v为线速度，单位m/s，ω为角速度，单位rad/s，m为物体质量，单位kg，R为物体的运动半径，单位m，T为圆周运动周期，单位s，f为圆周运动频率，单位Hz，n为圆周运动转速（即频率），单位r/s．