Question

9．如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定在A、B两点间的直的金属棒，在直棒上和圆环的BC部分分别套着两个相同的小环M、N，现让半圆环绕对称轴以角速度ω做匀速转动，半圆环的半径为R，小圆环的质量均为m，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g，小环可视为质点，则M、N两环做圆周运动的线速度之比为（　　）

• A． $\frac{g}{\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}-{g}^{2}}}$
• B． $\frac{\sqrt{{g}^{2}-{R}^{2}{ω}^{4}}}{g}$
• C． $\frac{g}{\sqrt{{g}^{2}-{R}^{2}{ω}^{4}}}$
• D． $\frac{\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}-{g}^{2}}}{g}$

Answer 1

分析 分别对M点和N点的小球进行受力分析，根据合外力提供向心力的条件，由牛顿第二定律即可求出结果．

解答 解：M点的小球受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，所以：F_n=mgtan45°=mω•v_M
所以：${v}_{M}=\frac{g}{ω}$…①
同理，N点的小球受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，设ON与竖直方向之间的夹角为，F_n′=mgtanθ=mωv_N
所以：${v}_{N}=\frac{gtanθ}{ω}$…②
又：${F}_{n}′=m{ω}^{2}r$…③
r=Rsinθ…④
联立②③④得：${v}_{N}=\frac{1}{ω}•\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}-{g}^{2}}$…⑤
所以：$\frac{{v}_{M}}{{v}_{N}}$=$\frac{g}{\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}-{g}^{2}}}$
故选：A

点评 该题属于圆锥摆模型，主要考查向心力的来源，对小球进行正确的受力分析，写出向心力的表达式是解答这一类题目采用的方法．