Question

1．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵ km，忽略所有岩石颗粒间的相互作用．
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比；
（2）求岩石颗粒A和B的周期之比．

Answer 1

分析 （1）岩石颗粒绕土星做圆周运动的向心力来源于土星的万有引力，由牛顿第二定律和万有引力定律列式，得到线速度的表达式，即可求解线速度之比．
（2）由圆周运动的基本规律求周期之比．

解答 解：（1）设土星质量为M₀，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，由牛顿第二定律和万有引力定律有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
即：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
岩石颗粒A和B的线速度之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{\sqrt{{r}_{B}}}{\sqrt{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1.2×1{0}^{5}}{8×1{0}^{4}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则有：$T=\frac{2πr}{v}$
岩石颗粒A和B的周期之比是：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}×\frac{{v}_{B}}{{v}_{a}}=\frac{8×1{0}^{4}}{1.2×1{0}^{5}}×\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$
答：（1）岩石颗粒A和B的线速度之比为$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）岩石颗粒A和B的周期之比是$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

点评 此题是卫星类型，抓住万有引力等于向心力及圆周运动的基本规律，即可进行求解．