Question

（2012?湖南模拟）为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位，可设计如下的一个电磁场区域（如图所示）：水平线QC以下是水平向左的匀强电场，区域Ⅰ（梯形PQCD）内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；区域Ⅱ（三角形APD）内的磁场方向与Ⅰ内相同，但是大小可以不同，区域Ⅲ（虚线PD之上、三角形APD以外）的磁场与Ⅱ内大小相等、方向相反．已知等边三角形AQC的边长为2l，P、D分别为AQ、AC的中点．带正电的粒子从Q点正下方、距离Q点为l的O点以某一速度射出，在电场力作用下从QC边中点N以速度v₀垂直QC射入区域Ⅰ，再从P点垂直AQ射入区域Ⅲ，又经历一系列运动后返回O点．（粒子重力忽略不计）求：
（1）该粒子的比荷；
（2）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间．

Answer 1

分析：粒子从O到N与从N到O是逆过程，N到O做类平抛运动．从N到P，做匀速圆周运动，半径等于l，由牛顿定律求出比荷．画出粒子在磁场中运动轨迹，找出半径与三角形边长的关系，定出时间与周期的关系，求出时间．

解答：解：
（1）根据牛顿第二定律和洛仑兹力表达式有
     qv₀B=m

v 2 0

R

              
   根据题意R=l，解得 

q

m

=

v0

Bl

                      
（2）粒子在电磁场中运动的总时间包括三段：电场中往返的时间t₀、区域Ⅰ中的时间t₁、区域Ⅱ和Ⅲ中的时间t₂+t₃．
   根据平抛运动规律有
      t₀=

2l

v0

                        
   设在区域Ⅰ中的时间为t₁，则
     t₁=2?

2πl

6v0

=

2πl

3v0

                  
   若粒子在区域Ⅱ和Ⅲ内的运动如图甲所示，则总路程为（2n+

5

6

）个圆周，根据几何关系有
      AE=（4nr+r）=l                解得      r=

l

4n+1

    其中n=0，1，2…
   区域Ⅱ和Ⅲ内总路程为  s=（2n+

5

6

）×2πr   　
    t₂+t₃=

s

v0

=

(2π+ 5 6 )2πl

(4n+1)v0

   总时间t=t₀+t₁+t₂+t₃=

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+7

4n+1

)

  若粒子在区域Ⅱ和Ⅲ内运动如图乙所示，则总路程为（2n+1+

1

6

）个圆周，根据几何关系有：
    （4nr+3r）=l
    解得      r=

l

4n+3

    其中n=0，1，2…
   区域Ⅱ和Ⅲ内总路程为  s=（2n+1+

1

6

）×2πr=

2πl(2n+ 7 6 )

4n+3

  总时间t=t₀+t₁+t₂+t₃=

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+13

4n+3

)
答：（1）该粒子的比荷为

v0

Bl

；
   （2）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间为=

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+7

4n+1

)或

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+13

4n+3

)．

点评：本题属于带电粒子在组合场中运动问题，综合性较强．磁场中圆周运动要画轨迹分析运动过程，探索规律，寻找半径与三角形边的关系是关键．