Question

3．水平面上有电阻不计的U形导轨NMPQ，它们之间的宽度为L，M和P之间接入电动势为E的电源（不计内阻）．现垂直于导轨搁一根质量为m，电阻为R的金属棒ab，并加一个范围较大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向与水平面夹角为θ且指向右斜上方，如图所示，求：
（1）当ab棒静止时，受到的支持力和摩擦力各为多少；
（2）已知ab棒与导轨间动摩擦因素μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒刚好发生滑动时，B的大小至少为多大且此时B的方向如何．

Answer 1

分析 （1）作出受力分析图，根据共点力平衡，结合安培力大小公式、闭合电路欧姆定律求出支持力和摩擦力的大小．
（2）当ab棒所受的安培力在水平方向的分力等于摩擦力时时，棒搞好运动，根据共点力平衡求出B的大小，根据左手定则判断B的方向

解答 解：从b向a看其受力如图所示．
（1）水平方向：f=F_Asinθ…①
竖直方向：N+F_Acosθ=mg…②
又F_A=BIL=B$\frac{E}{R}$L…③
联立①②③得：N=mg-$\frac{BLEcosθ}{R}$，f=$\frac{BLEsinθ}{R}$．
（2）当刚好发生滑动时，则F=F_Asinθ=μF_N=μ（mg-F_Acosθ）
即${F}_{A}=\frac{μmg}{sinθ+μcosθ}$
当B取最小值时，${F}_{A}=\frac{μmg}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$，此时θ=60°
解得B=$\frac{mgR}{2EL}$
答：（1）当ab棒静止时，受到的支持力为mg-$\frac{BLEcosθ}{R}$，摩擦力为$\frac{BLEsinθ}{R}$；
（2）已知ab棒与导轨间动摩擦因素μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒刚好发生滑动时，B的大小至少为$\frac{mgR}{2EL}$，且此时B的方向与水平方向的夹角为60

点评 本题考查共点力平衡与安培力知识的综合，将立体图转化为平面图是解决本题的关键