Question

如图所示，两个圆形光滑细管在竖直平面内交叠，组成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B处连接一内径相同的粗糙水平直管AB。已知E处距地面的高度h=3.2m，一质量m=1kg的小球a从A点以速度v₀=12m/s的速度向右运动进入直管道，到达B点后沿“8”字形轨道向上运动，到达D点时恰好与轨道无作用力，直接进入DE管（DE管光滑），并与原来静止于E处的质量为M=4kg的小球b发生正碰（ab均可视为质点）。已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小为碰撞前速度大小的，而b球从E点水平抛出，其水平射程s=0.8m。（取g=10m/s²）

（1）求碰后b球的速度大小；

（2）求“8”字形管道上下两圆的半径r和R；

（3）若小球a在管道AB中运动时所受阻力为定值，请判断a球返回到BA管道时，能否从A端穿出。

 

Answer 1

解：（1）b球离开DE后做平抛运动

竖直方向： h=gt²                      （1分）

水平方向：s=v_bt                        （1分）

         解得：v_b=1m/s                          （1分）

（2）a、b碰撞过程，动量守恒，以水平向右为正方向，有：

mv_a=-m+Mv_b               （2分）

解得：v_a=3m/s           （1分）

碰前a在D处恰好与轨道无作用力，满足：mg=m     （2分）

解得：r = 0.9m                     （1分）

由几何关系有：h=2R+2r                     （1分）

解得：R==0.7m                （1分）

（3）小球a从B到D，由动能定理有：-mgh=mv－mv      （1分）

设小球a从A到B，克服摩擦阻力做功为W_f，则由动能定理有：

-W_f = mv－mv                   （1分）

解得：W_f =35.5J                     （1分）

小球a从D返回到B，由动能定理有：mgh= m(v_B′)²－m()²  （2分）

解得：m(v_B′)²=32.5J < W_f          （1分）

所以，a球返回到BA管道时，不能从A端穿出.         （1分）

其它判断方法，正确的同样给分，例如：

假设a球返回到BA管道时，能从A端穿出，穿出时的速度大小为v₀′，由动能定理有：

-W_f =  m(v₀′)²－m(v_B′)²          

解得：m(v₀′)²=-3J               

所以，a球返回到BA管道时，不能从A端穿出.