Question

2．荡秋千是一项古老的运动，秋千是一块板用两根绳系在两个固定的悬点组成，设某人的质量为m，身高为H，站立时重心离脚底$\frac{H}{2}$，蹲下时重心离脚底$\frac{H}{4}$，绳子悬挂点到踏板的绳长为6H，绳子足够柔软且不可伸长，绳子和踏板的质量不计，人身体始终与绳子保持平行，重力加速度为g．
（1）若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₀（单位：rad），由静止释放，忽略空气阻力，求摆至最低点时每根绳的拉力大小；
（2）若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₁ （单位：rad），由静止释放，摆至另一侧最大摆角为θ₂（单位：rad），设空气阻力大小恒定，作用点距离脚底为$\frac{H}{3}$，求空气阻力的大小．
（3）若该人在踏板上采取如下步骤：当荡至最高处时，突然由蹲式迅速站起，而后缓缓蹲下，摆至另一侧最高处时已是蹲式，在该处又迅速站起，之后不断往复，可以荡起很高．用此法可以荡起的最大摆角为θm 弧度，假设人的“缓缓蹲下”这个动作不会导致系统机械能的损耗，而且空气阻力大小和作用点与第（2）问相同，试证明：$\frac{{θ}_{m}}{cos{θ}_{m}}$=$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{44（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）}$．

Answer 1

分析 （1）人在摆动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求最低点速度，再根据重力和拉力的合力提供向心力列式求拉力；
（2）先计算出人从一侧最高点到另一侧最高点过程中机械能的减小量，然后根据大小恒定的变力做功的表达式W=FS计算出克服阻力做功等于阻力与路程的乘积；
（3）对人运动一个周期的过程进行分析，克服阻力做功等于阻力与路程的乘积，人做功补偿的机械能等于人站起而使重力势能增加的量，列方程求解．

解答 解：
（1）设荡至最低点时速度为v，则由机械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（6H-\frac{H}{2}）（1-cos{θ}_{0}）$
设拉力为F，则由牛顿第二定律$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{6H-\frac{H}{2}}$
求得F=3mg-2mgcosθ₀
每根绳的拉力     $F'=\frac{1}{2}F=\frac{{3mg-2mgcos{θ_0}}}{2}$
（2）全程损耗的机械能为${△E}_{机}=mg（6H-\frac{H}{2}）（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）$
空气阻力做的功为${W}_{f}=-f（6H-\frac{H}{3}）（{θ}_{2}+{θ}_{1}）$
由功能关系有W_f=△E_K
求得   $f=\frac{{33（cos{θ_2}-cos{θ_1}）}}{{34（{θ_1}+{θ_2}）}}mg$
（3）在一个周期内，通过“迅速站起”获得的机械能（重力势能）是
${△E}_{机}=2mg（\frac{H}{2}-\frac{H}{4}）cos{θ}_{m}$
空气阻力做的功是${W}_{f}=-4f（6H-\frac{H}{3}）{θ}_{m}$
由功能关系有W_f=△E_K
求得：$\frac{{θ}_{m}}{cos{θ}_{m}}$=$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{44（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）}$，得证．
答：（1）摆至最低点时每根绳的拉力大小为$\frac{3mg-2mgcos{θ}_{0}}{2}$；
（2）空气阻力的大小为$\frac{33（cos{θ}_{2}-cos{θ}_{1}）}{34（{θ}_{1}+{θ}_{2}）}mg$；
（3）证明如上．

点评 本题关键是根据功能关系列方程求解，要注意阻力做的功等于阻力与路程的乘积．