Question

我国“嫦娥一号”已成功飞天，漫游太阳系的旅行已经开始进行，考察向太阳系外发射空间探测器的方案时，曾设想借助探测器与小行星的碰撞而使探测器飞出太阳系去探铡地球外生物。方案如下：

若质量为m₁的探测器和某个质量为m₂的小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动。已知：，小行星运行的速度为v₀，轨道半径为探测器的轨道半径的4倍。当探测器在其运行的圆轨道适当位置时，点燃探测器上的喷气发动机，经过极短的时间后立即关闭，从而使探测器获得所需的速度，沿椭圆轨道运动到小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，如图中的b点所示，此时探测器速度大小变为点火后所获得速度的0.125倍，方向与行星在该处的速度方向相同，正好可被小行星碰撞。假设碰撞过程中不损失机械能，不计探侧器燃烧损失的质量，只计探测器、小行星与太阳之间的万有引力，不计其他的万有引力。以无穷远处为零势能，则距太阳球心为r，质量为m的物体的引力势能为（其中M为太阳的质量，G为万有引力常量，）．

Answer 1

解析：设探测器轨道半径为R，速度为v，根据万有引力定律有：①

对小行星根据万有引力定律有：  ②，解方程得： ③，

设探测器点火加速后的在a点速度为v₁到达b点速度为v₂，由a点飞到b点过程有机械能守恒：  ④，

在b点和小行星相碰过程设碰后行星速度为v₃ 探测器速度为v₄由动量守恒

     ⑤
由能量守恒：……………………⑥

设碰后探测器恰好能飞到无穷远处由机械能守恒有  ⑦

解方程组得：。