Question

8．如图所示，半径为R的半圆柱体置于水平地面上，在其右端点A的正上方P处有一可视为质点的小球．小球以初速度v₀水平向左抛出，其运动轨迹恰好与半圆柱体相切于C点，∠COB=45°，重力加速度为g，则（　　）

• A． P点到地面的高度为$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$R
• B． 小球从P点运动到C点的时间为$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+2）R}{g}}$
• C． 小球在P点的速度大小为$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+2）gR}{2}}$
• D． 小球在C点的速度大小为$\sqrt{2（\sqrt{2}+2）gR}$

Answer 1

分析 根据几何关系求出平抛运动的水平位移，抓住速度与C点相切，结合平行四边形定则得出竖直分速度和水平分速度的关系，运用运动学公式求出平抛运动的竖直位移，从而根据几何关系求出P点到地面的高度．
根据平抛运动的竖直位移，结合位移时间公式求出小球从P点到C点的时间．
结合水平位移和时间求出小球在P点的速度，根据平行四边形定则求出小球在C点的速度．

解答 解：A、根据几何关系可知，水平位移x=R+Rsin45°=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）R，
运动到C点时，根据几何关系得：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得v_y=v₀．
水平位移x=v₀t，竖直位移y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$，
可知竖直位移y=$\frac{x}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}R$，
则P点离地面的高度h=y+Rsin45°=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}R+\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{2+3\sqrt{2}}{4}R$．故A错误．
B、根据y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，P到C的时间t=$\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{（2+\sqrt{2}）R}{2g}}$，故B错误．
C、物体平抛运动的初速度${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R}{\sqrt{\frac{（2+\sqrt{2}）R}{2g}}}$=$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）gR}$，故C正确．
D、小球在C点的速度v=$\sqrt{2}{v}_{0}$=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$，故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，能够结合几何关系求解，难度适中．