Question

5．如图所示，光滑水平面与一倾斜运输带MP相接，运输带与水平面夹角为θ=30°，运输带顺时针运行，速率v₀=5m/s．在水平面上的N点处放一质量m=0.4kg的小物块，N点与运输带下端M点间的距离x=2m．现对小物体施加水平恒力F=10N作用至M点撤掉，连接点M处是平滑的，小物体在此处无碰撞能量损失．小物体与运输带间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，到达运输带最高点P时速度恰好为零，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）小物体运动到M点时的速度大小；
（2）MP之间的距离L；
（3）小物体在运输带上运动的过程中相对运输带滑动的距离△s．

Answer 1

分析 （1）对物体在水平面上受力分析和做功分析，根据动能定理求小物体运动到M时的速度；
（2）小物体运动到M时的速度大于传送带的速度，物体将在摩擦力作用下做减速运动，根据牛顿第二定律求出加速度和位移，当速度减至与传送带一致时，由于摩擦力小于物体重力沿斜面向下的分力，摩擦力改变方向向上，物体向上做减速运动，速度减为O时到达最高点P，分两段求解物体上滑的位移即可；
（3）根据位移公式求出两段位移以及两段时间内传送带的位移，由几何关系即可求出小物块相对运输带滑动的距离△s．

解答 解：
（1）小物体从N至M点的过程中受重力、支持力和拉力作用，只有拉力对物体做功，根据动能定理有：
$Fx=\frac{1}{2}m{v^2}$
可得：到达M点时小物体的速度$v=\sqrt{\frac{2Fx}{m}}=\sqrt{\frac{2×10×2}{0.4}}m/s=10m/s$
（2）小物体刚到输送带上相对运输带上滑到两者共速前，受沿斜面向下摩擦力，做匀减速运动，令物体的加速度为a₁，根据牛顿第二定律有：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得a₁=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$=$10×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}m/{s}^{2}=7.5m/{s}^{2}$
令此过程中物体上滑的距离为L₁，根据速度位移关系有：
$v_0^2-{v^2}=-2{a_1}{L_1}$
解得：L₁=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{-2{a}_{1}}=\frac{{5}^{2}-1{0}^{2}}{-2×7.5}m=5m$
小物体与传送带速度相等后，由于μmgcosθ＜mgsinθ，所以物体继续做减速运动，相对于传送带下滑，受沿斜面向上摩擦力，令此时物体加速度为a₂，则根据牛顿第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
加速度a₂=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s²=2.5m/s²
令物体向上减速至速度为0时的位移为L₂，则根据速度位移关系有：
由$0-v_0^2=-2{a_2}{L_2}$
得L₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{{5}^{2}}{2×2.5}m=5m$  
所以MP之间的距离L=L₁+L₂=5+5m=10m．
（3）令物体速度由v减至v₀的时间为t₁，则由速度时间关系有：
v₀=v-a₁t₁
得物体第一阶段减速的时间${t}_{1}=\frac{v-{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{10-5}{7.5}s=\frac{2}{3}s$
所以运输带运行的位移${x_1}={v_0}{t_1}=\frac{10}{3}m$
小物体相对运输带位移$△{s_1}={L_1}-{x_1}=\frac{5}{3}$m
物体由速度v减至0时所用时间为t₂，由速度时间关系有：
0=v₀-a₂t₂
得第二阶段减速时间t₂=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{5}{2.5}s=2s$
所以此过程中运输带运行的位移x₂=v₀t₂=10m
小物体相对运输带位移△s₂=L₂-x₂=-5m
小物体相对于运输带的位移：$△s=△{s}_{1}+△{s}_{2}=\frac{5}{3}-5=-\frac{10}{3}$ m
小物体在运输带上运动的过程中相对运输带滑动的距离△s大小为$\frac{10}{3}$m．
答：（1）小物体运动到M时的速度大小为10m/s；
（2）MP之间的距离L=10m；
（3）此过程中小物体与相对运输带滑动的距离△s是$\frac{10}{3}$m

点评 此题考查传送带、受力分析、牛顿第二定律、匀变速直线运动规律、摩擦生热等知识点，熟练掌握相关知识，静下心来分过程研究是解决问题的关键．