Question

13．某星球上没有任何气体．若宇航员乘坐飞船绕该星球表面无动力运行的周期为T，着陆后宇航员在该星球表面附近从h高处以初速度v₀水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，已知万有引力常量为G．求：
（1）该星球的密度；
（2）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为多大？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合周期的大小求出星球的质量，通过星球的体积求出星球的密度．
（2）根据水平位移和初速度求出平抛运动的时间，结合竖直高度，运用位移时间公式求出星球表面的重力加速度．根据星球表面的重力加速度，根据星球表面重力提供向心力求出发射的速度．

解答 解：（1）在星球表面，根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
又M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}•ρ$
解得：$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（2）设星球表面的重力加速度为g，小球的质量为m，小球做平抛运动，
故有 $h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，L=v₀t
解得$g=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
星球表面，万有引力等于重力，则有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
该星球表面处的最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度，设为为v，设卫星的质量为m₁，则在星球表面
$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{R}$
又$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}g$
解得：v=$\frac{hT{{v}_{0}}^{2}}{π{L}^{2}}$
答：（1）该星球的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（2）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为$\frac{hT{{v}_{0}}^{2}}{π{L}^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用，难度适中．