Question

如图所示，一根长 L=1.5m 的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为 E=1.0×10⁵N/C、与水平方向成θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中．杆的下端M固定一个带电小球 A，电荷量Q=+4.5×10^-6C；另一带电小球 B 穿在杆上可自由滑动，电荷量q=+1.0×10^一6 C，质量m=1.0×10^一2 kg．现将小球B从杆的上端N由静止释放．（静电力常量k=9.0×10 ⁹N?m²/C²，取 g=l0m/s²）求：
（l）小球B开始运动时的加速度为多大？
（2）小球B 的速度最大时，距 M 端的高度 h₁为多大？
（3）小球 B 从 N 端运动到距 M 端的高度 h₂=0.6l m 时，速度为v=1.0m/s，求此过程中小球A对小球B的库仑力所做的功？

Answer 1

分析：对小球B进行受力分析，运用牛顿第二定律求出开始运动时的加速度大小．
根据受力情况分析小球B的运动情况，找出小球B速度最大时的位置特点．
由于A对B的库仑力做功是变力功，所以运用动能定理求解电场力做功．

解答：解：（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，
将电场力沿杆的方向和垂直杆的方向分解，由牛顿第二定律得：
mg-k

Qq

L2

-qEsinθ=ma
解得：a=g-k

Qq

mL2

-

qEsinθ

m

代入数据解得：a=3.2 m/s²．
（2）小球B向下运动，受A的斥力增大，加速度减小，速度增大，
当小球B速度最大时合力减为零，
即k

Qq

h 2 1

+qEsinθ=mg
解得：h1=

kqQ mg-qEsinθ

代入数据解得：h₁=0.9 m．
（3）小球B从开始运动到速度为v的过程中，设重力做功为W₁，电场力做功为W₂，库仑力做功为W₃，
根据动能定理有：W₁+W₂+W₃=

1

2

mv²
W₁=mg（L-h₂）
W₂=-qE（L-h₂）sinθ
解得：W₃=

1

2

mv²-mg（L-h₂）+qE（L-h₂）sinθ
从功能角度来说，电势能的改变量的大小就等于电场力做的功．电场力做负功，电势能增大．
动能的改变量就等于总功．
设小球B的电势能改变了△Ep，则：△E_p=-（W₂+W₃）
△E_p=mg（L-h₂）-

1

2

mv²
解得：△E_p=8.4×10^-2J
答：（1）小球B开始运动时的加速度为3.2 m/s² ；
（2）小球B的速度最大时，距M端的高度h₁为0.9 m；
（3）小此过程中小球B的电势能改变了8.4×10^-2J．

点评：能够正确对小球B进行受力分析和运动分析，
知道电场力做功量度电势能的变化，常用动能定理求解变力功．