Question

如图所示，金属杆静置于倾角θ=37°的斜面上，电动滚轮在斜面上方靠近金属杆上表面．在电动装置的控制下，逆时针匀速转动的电动滚轮能以不同的压力压在金属杆上表面．已知电动滚轮边缘的线速度为5m/s，它压紧在金属杆的上表面时，相对于地面的位置固定，其中心到斜面底端的距离L=4m，滚轮与金属杆间的动摩擦因数μ₁=1.05，金属杆与斜面之间的动摩擦因数μ₂=0.25，杆的质量为m=1×10³kg，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g取10m/s²．
（1）要使金属杆能向上运动，滚轮对金属杆的压力F_N必须大于多少？
（2）把金属杆离开斜面底端的最大距离定义为“发射距离x”．是否滚轮对金属杆的压力F_N越大，发射距离x就越大？简要地说明理由．
（3）要使发射距离x=5m，求滚轮对金属杆的压力F_N．设滚轮与金属杆接触的时间内压力大小不变．

Answer 1

（1）对金属杆受力分析如图所示，要使金属杆向上运动，



应有：μ₁F_N≥mgsinθ+μ₂（F_N+mgcosθ）
解得：F_N≥10000N
所以要使金属杆能向上运动，滚轮对金属杆的压力F_N必须大于10000N
（2）不是．
当压力增大时金属杆的加速度也增大，但当金属杆离开滚轮前的速度等于滚轮边缘的线速度，金属杆就做匀速运动，这时继续增大压力，金属杆离开滚轮的速度保持不变，发射距离也保持不变．
（3）金属杆离开滚轮后的加速度大小为：
a₂=

mgsin37°-μmgcos37°

m

=8m/s²
金属杆离开滚轮上升的距离：x₂=5m-4m=1m
金属杆离开滚轮的速度：v=

2a2x2

=4m/s
由于v＜5m/s，可见金属杆在与滚轮接触的时间内一直做匀加速运动，加速度为
a₁=

v2

2L

=2m/s²
由牛顿第二定律得：
μ₁F_N-mgsinθ+μ₂（F_N+mgcosθ）=ma₁
代入数据得到F_N=1.25×10⁴N．  
答：（1）要使金属杆能向上运动，滚轮对金属杆的压力F_N必须大于10000N
（2）不是否滚轮对金属杆的压力F_N越大，发射距离x就越大．
（3）要使发射距离x=5m，滚轮对金属杆的压力为1.25×10⁴N．