Question

如图所示，真空中的矩形abcd区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形边界分别相切于ad、bc边的中点e、f．一带电粒子以初速度v₀沿着ef方向射入该区域后能做直线运动；当撤去磁场并保留电场，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入恰能从c点飞离该区域．已知ad=bc=

4 3

3

R，忽略粒子的重力．求：
（1）带电粒子的电荷量q与质量m的比值

q

m

；
（2）若撤去电场保留磁场，粒子离开矩形区域时的位置．

Answer 1

分析：（1）本题先分析带电粒子的运动情况，并把握每个过程遵守的规律：未撤去磁场时，带电粒子做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡；撤去磁场后，带电粒子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，已知水平距离x=2R，竖直距离y=

1

2

bc=

2 3

3

R，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出比荷．
（2）若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求得轨迹半径，画出轨迹，由几何关系求出粒子离开矩形区域时的位置．

解答：解：（1）设匀强电场强度为E，当电场和磁场同时存在时，粒子沿ef方向做直线运动，有：
  qv₀B=qE…①
当撤去磁场，保留电场时，带电粒子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由题，粒子恰能从c点飞出，则
 水平方向有：2R=v₀t  ②
 竖直方向有：

1

2

bc=

1

2

at2 ③
            qE=ma  ④
联解①②③④得：
  

q

m

=

3 v0

3BR

…⑤
（2）若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示．
设粒子离开矩形区域时的位置g离b的距离为x，则由牛顿第二定律：
qv0B=m

v2

r

…⑦
得，r=

mv0

qB

=

3BR

3 v0

?

v0

B

=

3

R
由图中几何关系得：
粒子的轨迹半径为r=Rtanθ=

3

R…⑧
得θ=60°
故粒子离开磁场时到b的距离为x=

1

2

ab-

1

2

bc?cotθ…⑨
代入解得：x=

R

3

…⑩
答：
（1）带电粒子的电荷量q与质量m的比值

q

m

等于

3 v0

3BR

．
（2）若撤去电场保留磁场，粒子离开矩形区域时的位置离b的距离为

R

3

．

点评：本题中带电粒子在复合场中运动，分析受力情况和运动情况是基础，磁场中关键画出轨迹，运用几何知识求解轨迹半径．