Question

【题目】如图所示，位于竖直平面内的轨道，由一段斜的直轨道AB和光滑半圆形轨道BC平滑连接而成，AB的倾角为30°，半圆形轨道的半径．R=0.1m，直径BC竖直．质量m=1kg的小物块从斜轨道上距半圆形轨道底部高为h处由静止开始下滑，经B点滑上半圆形轨道．己知物块与斜轨道间的动摩擦因数为 ，g取g=10m/s2 ．

（1）若h=1m，求物块运动到圆轨道最低点B时对轨道的压力；
（2）若物块能到达圆轨道的最高点C，求h的最小值；
（3）试求物块经最高点C时对轨道压力F随高度h的变化关系，并在图示坐标系中作出F﹣h图象．

Answer 1

【答案】
（1）解：设物块运动圆轨道最低点B时速度大小为v，所受的支持力为N．

根据动能定理有：mgh﹣μmgcos30° = ﹣0

在B点，根据牛顿第二定律有：N﹣mg=m

代入数据，解得 N=110N

根据牛顿第三定律知，物块对轨道的压力大小为110N，方向竖直向下．

（2）解：设物块恰好能到达圆轨道的最高点C，此时对应的高度为hmin，C点的速度为v0．

根据动能定理有：mghmin﹣μmgcos30° ﹣2mgR=﹣0

经最高点C时，根据向心力公式有：mg=m

代入数据，解得 hmin=0.5m

（3）解：设物块到达圆轨道最高点时的速度为v，轨道对物块的弹力大小为FN．

根据动能定理有：mgh﹣μmgcos30° ﹣2mgR= ﹣0

经最高点C，根据向心力公式有：FN+mg=m

解得 FN=100h﹣50（N）（h≥0.5m）

则压力 F=FN=100h﹣50（N）（h≥0.5m），作出F﹣h图象如图．

【解析】（1）对于物块在斜面下滑的过程，由机动能定理即可求得物体通过B点时的速度，物块经过B点时，由轨道的支持力和重力的合力充当向心力，由牛顿运动定律求物块对轨道的压力；（2）物块恰好通过圆轨道的最高点C时由重力提供向心力，此时h最小．由牛顿第二定律求出C点的最小速度，再由动能定理求解h的最小值．（3）根据动能定理和向心力公式结合得到F与h的表达式，再画出F﹣h图象．
【考点精析】解答此题的关键在于理解动能定理的综合应用的相关知识，掌握应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷．