Question

（2009?韶关二模）如图中上图所示，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长为0.4m不可伸长的轻绳连接．开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于高度为0.2m处．两板释放后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半径为R′（r＜R′＜R）的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上，木板与支架发生碰撞碰，碰撞过程中无机械能损失．撞后两板立刻分离，直到轻绳绷紧．轻绳绷紧的瞬间，两物体具有共同速度V，如图中下图所示． （g=10m/s²）求：
（1）若M=m，则V值为多大？
（2）若M/m=K，试讨论 V的方向与K值间的关系．

Answer 1

分析：（1）开始 M与m自由下落，机械能守恒．M与支架C碰撞后，碰撞过程中无机械能损失，M以原速率返回，向上做匀减速运动．m向下做匀加速运动．当M与m的位移大小之和等于绳长时，绳子绷紧，根据位移公式和位移之和等于绳长求出时间，由速度公式求出绳绷紧前两物体的速度．在绳绷紧瞬间，内力（绳拉力）很大，可忽略重力，认为在竖直方向上M与m系统动量守恒，根据动量守恒定律求出V．
（2）根据V与K的关系式，讨论分析V的方向．

解答：解：（1）M和m一起下落过程，据机械能守恒得：
（M+m）gh=

1

2

（M+m）V₀²       
解得：V₀═2m/s　　（2分）
M碰撞支架后以Vo返回作竖直上抛运动，m向下做匀加速运动．在绳绷紧瞬间，M速度为V₁，上升高度为h₁，m的速度为V₂，下落高度为h₂．设经过时间t绳子绷紧，则：
     h₁=V₀t-

1

2

gt²
     h₂=V₀t+gt²
又   h₁+h₂=0.4m 
得到：h₁+h₂=2V₀t，
解得：t=0.1s．
所以：V₁=V₀-gt=2-10×0.1=1m/s 
      V₂=V₀+gt=2+10×0.1=3m/s
绳子绷紧过程，取向下为正方向，根据动量守恒得：
   mV₂-MV₁=（M+m）V，
那么当m=M时，V=1m/s，方向向下；
（2）当

M

m

=K时，V=

V2-KV1

K+1

=

3-K

K+1

．
讨论：①K＜3时，V＞0，两板速度方向向下．
②K＞3时，V＜0，两板速度方向向上．
③K=3时，V=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．
答：（1）若M=m，V值为1m/s．
    （2）当

M

m

=K时，①K＜3时，V＞0，两板速度方向向下．②K＞3时，V＜0，两板速度方向向上．③K=3时，V=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．

点评：此题涉及四个过程：两物体一起自由下落、M与板碰撞、两物体分别向下和向上运动、绳绷紧，将全过程分成若干个子过程进行研究，同时寻找各个过程的规律，这是解决复杂问题的基本思想．
求“撞后两板立刻分离，直到轻绳绷紧”的时间也可用相对运动的知识求解（两物体做相对速度为4m/s、相对位移为0.4m的匀速直线运动），可以简化过程．