Question

（2013?徐汇区二模）如图（甲），MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，电阻箱的阻值范围为0～4Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图（乙）所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g=l0m/s²，轨道足够长且电阻不计．

（1）当R=0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小及杆中的电流方向；
（2）求金属杆的质量m和阻值r；
（3）求金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值P_m；
（4）当R=4Ω时，求随着杆a b下滑回路瞬时电功率每增大1W的过程中合外力对杆做的功W．

Answer 1

分析：（1）由图读出R=0时杆ab的最大速度，由E=BLv求解感生电动势E的大小，由右手定则判断出杆中的电流方向；
（2）根据 E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL推导出安培力的表达式，当杆匀速运动时速度最大，由平衡条件得到最大速度v_m与R的关系式，根据图象的斜率和纵截距求解金属杆的质量m和阻值r；
（3）金属杆匀速下滑时，由平衡条件求得电路中电流，即可求出电阻箱消耗电功率的最大值P_m；
（4）由E=BLv和 P=

E2

R+r

得到瞬时电功率增大量△P，根据动能定理求出合外力对杆做的功W．

解答：解：（1）由图可知，当R=0时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势
   E=BLv=0.5×2×2V=2V                     
由右手定则判断可知杆中电流方向从b→a
（2）设杆运动的最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv
由闭合电路的欧姆定律得：I=

E

R+r

杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0
联立解得：v=

mgsinθ

B2L2

R+

mgsinθ

B2L2

r
由图象可知：斜率为k=

4-2

2

m/(s?Ω)=1m/(s?Ω)，纵截距为v₀=2m/s，
得到：

mgsinθ

B2L2

r=v₀

mgsinθ

B2L2

=k
解得：m=0.2kg，r=2Ω    
（3）金属杆匀速下滑时电流恒定，则有  mgsinθ-BIL=0
得 I=

mgsinθ

BL

=1A
电阻箱消耗电功率的最大值Pm=I2Rm=4W
（4）由题意：E=BLv，P=

E2

R+r

得  P=

B2L2v2

R+r

瞬时电功率增大量△P=

B2L2 v 2 2

R+r

-

B2L2 v 2 1

R+r

由动能定理得
 W=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

比较上两式得 W=

m(R+r)

2B2L2

△P
代入解得 W=0.6J  
答：（1）当R=0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小2V，杆中电流方向从b→a．
（2）金属杆的质量m为0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值P_m是4W．
（4）当R=4Ω时，随着杆a b下滑回路瞬时电功率每增大1W的过程中合外力对杆做的功W是0.6J．

点评：本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，综合性强，对学生能力的要求较高，其中安培力的分析和计算是关键．