Question

附加题
如图，竖直放置的斜面AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，C为圆弧最低点，圆弧半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，∠COB=θ．现有一个质量为m的小物体从A点无初速滑下，已知小物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求：
（1）小物体在斜面上滑行的总路程；
（2）小物体通过C点时，对C点的最大压力和最小压力．

Answer 1

分析：（1）由几何知识得知，斜面的倾角等于30°．物体从A点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物体在斜面上运动时机械能不断减小，到达的最大高度越来越小，最终在BE圆弧上来回运动，到达B点的速度为零．物体在斜面上运动时摩擦力大小为μmgcosθ，总是做负功，滑动摩擦力做的总功与总路程成正比，根据动能定理求解总路程．
（2）当物体第一次经过C点时，速度最大，对C点的压力最大，当最后稳定后，物体在BE之间运动时，经过C点时速度最小，物体对C点的压力最小，根据动能定理求出最大速度和最小速度，再由牛顿运动定律求解最大压力和最小压力．

解答：解：（1）设物体在斜面上滑行的总路程为S．对物体从A到B（或E）的过程，应用动能定理得
     mgRcosθ-μmgcosθS=0
解得   S=

R

μ

（2）当物体第一次经过C点时，速度最大，设为v_C1．由几何知识得到，AB的长度AB=Rcotθ
对A到C过程，由动能定理得
    mgR-μmgcosθRcotθ=

1

2

m

v

2 C1

设轨道对物体的支持力F₁，由牛顿第二定律得
   F₁-mg=m

v 2 C1

R

 联立解得F₁=3mg-2μmgcosθcotθ 
当最后稳定后，物体在BE之间运动时，设物体经过C点的速度为v_C2，由动能定理得
   mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 C1

设轨道对物体的支持力F₂，由牛顿第二定律得
   F₂-mg=m

v 2 C2

R

联立解得  F₂=3mg-2mgcosθ
由牛顿第三定律可知，物体对C点的最大压力为3mg-2μmgcosθcotθ，
最小压力为3mg-2mgcosθ
答：（1）小物体在斜面上滑行的总路程是

R

μ

；
   （2）物体对C点的最大压力为3mg-2μmgcosθcotθ，最小压力为3mg-2mgcosθ．

点评：本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，抓住滑动摩擦力做功与路程有关这一特点．