Question

5．人造地球卫星P绕地球球心作匀速圆周运动，已知P卫星的质量为m，距地球球心的距离为r，地球的质量为M，引力恒量为G，求：
（1）卫星P与地球间的万有引力；
（2）卫星P的运动周期；
（3）现有另一地球卫星Q，Q绕地球运行的周期是卫星P绕地球运行周期的8倍，且P、Q的运行轨迹位于同一平面内，如图所示，求卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最近时的距离多大．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力定律的公式求出卫星P与地球间的万有引力大小．
（2）根据万有引力提供向心力求出卫星P的运动周期．
（3）当P、Q、地球共线时，且位移地球同一侧相距最近．

解答 解：（1）卫星P与地球间的万有引力F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$；
（2）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，卫星P的运动周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
（3）卫星Q的周期是卫星P周期的8倍，根据T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$知，卫星Q的轨道半径是卫星P轨道半径的4倍，即r′=4r，
当 P、Q、地球共线且P、Q位于地球同侧时最近，最近距离d=4r-r=3r．
答：（1）卫星P与地球间的万有引力为$\frac{GMm}{{r}^{2}}$；
（2）卫星P的运动周期为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
（3）卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最近时的距离为3r．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道周期与轨道半径的关系，基础题．