Question

13．一做水平振动的谐振子质量为M，弹簧的倔强系数为k，其最大振幅为A₁，当振子振动到平衡位置时，有一质量为m泥团垂直落下和振子发生完全非弹性碰撞．求：
（1）新振动的周期T₂；
（2）新振动的振幅A₂．

Answer 1

分析 根据弹簧振子的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，m是振子的总质量，求解周期．根据水平方向动量守恒求出泥团粘到振子后共同速度，再由机械能守恒定律求振幅．

解答 解：（1）当振子通过平衡位置时与泥团相粘后，弹簧振子的振动周期为：T₂=2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$
（2）设振子与泥团相粘前，通过平衡位置的速度为v₁，相粘后共同速度为v₂．振幅为A₂．
相粘前，振子从平衡位置到最大位移处，由系统的机械能守恒有：
$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{kA}_{1}^{2}$
取相粘前振子的速度方向为正，根据水平方向动量守恒得：
Mv₁=（M+m）v₂
粘合体从平衡位置到最大位移处的过程，由系统的机械能守恒得：
．$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}k{A}_{2}^{2}$
解得A₂=$\sqrt{\frac{m}{M+m}{\;}_{\;}}{A}_{1}$
答：（1）新振动的周期T₂为2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$；
（2）新振动的振幅A₂为$\sqrt{\frac{m}{M+m}{\;}_{\;}}{A}_{1}$．

点评 解决本题的关键要明确粘合过程，系统水平方向的动量守恒，但总动量不守恒．粘合后系统的机械能也是守恒的．