Question

12．如图所示，倾角为θ的斜面与足够大的光滑水平面在D处平滑连接，斜面上有A、B、C三点，AB间距为2L，BC、CD间距为4L，斜面上BC部分粗糙，其余部分光滑，4块完全相同、质量均匀分布的长方形薄片，紧挨在一起排在斜面上，从下往上编号依次为1、2、3、4，第1块的下边缘恰好在A处．现将4块薄片一起由静止释放，薄片经过D处时无能量损失且相互之间无碰撞．已知每薄片质量为m、长为L，薄片与斜面BC间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g．求：
（1）第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v₁；
（2）第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a和此时第3、4块间的作用力大小F；
（3）4块薄片全部滑上水平面后，相邻滑片间的距离d．

Answer 1

分析 （1）AB面光滑，4块薄片整体下滑时机械能守恒，由机械能守恒定律求第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v₁；
（2）对于4块薄片整体，根据牛顿第二定律求第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a．研究第4块薄片，根据牛顿第二定律求3对4的作用力；
（3）研究整体下端由A到C的过程，根据动能定理列式，求得4块滑片刚好全部滑上粗糙面时的速度，对每块滑片运用动能定理求得每块滑片滑到水平面时的速度，由运动学公式求得相邻滑片到达水平面的时间差，从而求得相邻滑片间的距离d．

解答 解：（1）研究4块薄片整体，根据机械能守恒定律有：
   4mg•2Lsinθ=$\frac{1}{2}（4m）{v}_{1}^{2}$
解得  v₁=2$\sqrt{gLsinθ}$
（2）对于4块薄片整体，根据牛顿第二定律有
  4mgsinθ-μmgcosθ=4ma
解得  a=$\frac{3}{4}$gsinθ
研究第4块薄片，根据牛顿第二定律有
 mgsinθ-F=ma
解得  F=$\frac{1}{4}$mgsinθ
（3）设4块滑片刚好全部滑上粗糙面时的速度为v₂，研究整体下端由A到C的过程，根据动能定理有
   4mg•6Lsinθ-$\frac{4μmgcosθ}{2}$•4L=$\frac{1}{2}（4m）{v}_{2}^{2}$
设每块滑片滑到水平面时的速度为v₃，对每块滑片运用动能定理有
   mg•$\frac{9Lsinθ}{2}$-$\frac{μmgcosθ}{2}$L=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
相邻滑片到达水平面的时间差 t=$\frac{L}{{v}_{2}}$                     
由于  d=（v₃-v₂）t
解得 d=$\sqrt{2}$L    
答：
（1）第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v₁是2$\sqrt{gLsinθ}$．
（2）第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a是$\frac{3}{4}$gsinθ，此时第3、4块间的作用力大小F是$\frac{1}{4}$mgsinθ；
（3）4块薄片全部滑上水平面后，相邻滑片间的距离d是$\sqrt{2}$L．

点评 解决本题时，一要灵活选择研究对象，采用隔离法和整体法结合比较简洁．二要分析清楚运动过程．涉及力在空间效果时，运用动能定理研究是常用的方法．