Question

13．如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于点O，二者夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间；
（2）磁场区域的最小面积；
（3）求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，先求出粒子在匀强磁场中运动时间，粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，根据几何关系及速度时间公式求出时间，过MO后粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出此过程中的时间，三段时间之和即为总时间；
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积．
（3）分三段求PO间的距离，圆周运动部分、匀速运动部分和类平抛运动部分．

解答 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t₁，

由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，t₁=$\frac{1}{3}$T，
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，
设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t₂，
由几何关系知：s=$\frac{R}{tanθ}$，t₂=$\frac{s}{v}$，
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t₃，
则：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₃²，由题意可知：v=$\frac{E}{B}$，
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
 （2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，
故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积，
扇形OO′N的面积的面积S=$\frac{1}{3}$πR²，
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
△S=S-S′，解得：△S=$\frac{（4π-3\sqrt{3}）{m}^{2}{E}^{2}}{12{q}^{2}{B}^{4}}$；
（3）粒子以最大速度进入磁场时在PQ上落点离O最远，粒子经历了三段运动过程：
在磁场中匀速圆周运动过程中出磁场位置在O点左侧x₁处，x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
出磁场后进电场前匀速直线运动过程中粒子位移x₂，x₂=$\sqrt{3}$R，
在电场中类平抛运动过程中粒子沿PQ方向位移x₃，x₃=vt₃=$\sqrt{3}$R，
粒子射到PQ上的最远点离O的距离d=$\frac{5\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$．
（由分析知，最远距离分三段求，圆周运动部分，匀速运动部分和类平抛运动部分）
答：（1）速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间为$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（2）磁场区域的最小面积为：$\frac{（4π-3\sqrt{3}）{m}^{2}{E}^{2}}{12{q}^{2}{B}^{4}}$；
（3）粒子射到PQ上的最远点离O的距离大小为$\frac{5\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$．

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．