Question

“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日成功发射升空，它标志着我国的载人飞船技术又进入了一个新的水平．“神舟六号”飞船的质量约为8000kg．飞船入轨后先是在近地点200km，远地点350km的椭圆轨道上运行5圈，然后变轨到距地面340km的圆形轨道．试由以上数据解答下列问题：
（1）设飞船在椭圆轨道近地点的速度为v₁、在椭圆轨道远地点的速度为v₂、在圆形轨道上的速度为v₃，则三个速度的大小关系为

v₁＞v₃＞v₂

．（用“＞”、“=”、“＜”表示．）
（2）求飞船进入圆形轨道运动后的动能．（设地球半径为R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，计算结果保留两位有效数据）．

Answer 1

分析：（1）飞船在远地点的势能最大，动能最小，在近地点的势能最小，动能最大．或根据开普勒定律分析．
（2）飞船在圆形轨道上，由万有引力提供向心力，在地球表面上，物体所受的重力近似等于万有引力，根据两个关系分别列式，即可求出飞船进入圆形轨道后的动能．

解答：解：（1）根据开普勒第二定律可知，飞船在椭圆轨道近地点的速度大于远地点的速度，即v₁＞v₂．
飞船到达远地点要加速变轨进入圆形轨道，所以v₂小于以地心为圆心、远地点所在圆轨道的速度，而根据公式v=

GM r

可知，此圆轨道的速度小于v₂．故有v₁＞v₃＞v₂．
（2）飞船质量为m，在圆形轨道上离地的高度为h，地球质量为M，由万有引力提供向心力有：
G

mM

(h+R)2

=m

v 3 3

h+R

…①
在地球表面有：G

mM

R2

=mg…②
飞船进入圆形轨道后的动能为：E_k=

1

2

m

v

2 3

…③
解以上三个方程可得：E_k=

mgR2

2(R+h)

代入数据可得：E_k=2.4×10¹¹ J
答：（1）v₁＞v₃＞v₂．
（2）飞船进入圆形轨道运动后的动能为2.4×10¹¹J．

点评：本题考查动能和重力势能的影响因素，要知道从近地点向远地点运动的过程中，速度和高度的变化．对于卫星的圆周运动，要掌握常规思路：万有引力等于向心力，在地球表面上，万有引力等于重力．