Question

16．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，总质量为m₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂．求：
（1）X星球的质量；
（2）登陆舱在r₁与r₂轨道上运动的速度大小之比v₁：v₂；
（3）登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期．

Answer 1

分析 研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出线速度和周期；再通过不同的轨道半径进行比较．

解答 解：（1）研究飞船绕星球做匀速圆周运动，
根据万有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．
（2）研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
在半径为r的圆轨道上运动：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，表达式里M为中心体星球的质量，R为运动的轨道半径；
所以登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的速度大小之比为：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$
（3）研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得出：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
表达式里M为中心体星球的质量，R为运动的轨道半径．
所以登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的周期大小之比为$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，所以周期为T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$；
答：（1）X星球的质量为$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$；
（2）登陆舱在r₁与r₂轨道上运动的速度大小之比为$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$；
（3）登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$．

点评 本题主要考查万有引力提供向心力这个关系，要注意向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．