Question

19．某仓库中常用的皮带传输装置由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距4m，另一台倾斜，传送带的倾角θ=37°，C、D两端相距4.2m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率顺时针转动，将质量为20kg的一袋大米无初速度地放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜送带的CD部分，米袋与传送带AB间的动摩擦因数为0.2，米袋与传送带CD间的动摩擦因数为0.8．（g取10m/s²）试求：
（1）从A点运动到B点的过程中，米袋与传送带之间因摩擦产生的热量；
（2）CD部分传送带顺时针运转，若要米袋能以最短的时间从C端传送到D端，求CD运转的速度应满足的条件及米袋从C端传送到D端的最短时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿运动定律求解加速度，根据运动学知识求解位移，从的相对位移，根据热量Q=f△x求热量；
（2）若CD部分传送带的速度较大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短，根据匀变速直线运动规律解时间和速度．

解答 解：（1）米袋在传送带的滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，在水平方向开始只受滑动摩擦力故有：F_合=f=μmg=ma₁，
所以米袋的加速度为：a₁=μ₁g=2m/s²，
米袋在水平传送带上的最大速度为v_max=5m/s，所以其加速时间为t₁=$\frac{{v}_{max}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{2}$=2.5s，
这过程中米袋的位移为：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×2．{5}^{2}$=6.25m，
因为x₁＞L，说明米袋一直加速运动时间为t′=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{2×4}{2}}$=2s，
米袋相对传送带的位移为△x=vt′-L=5×2-4=6m，
故产生热量Q=f△x=0.2×200×6=240J；

（2）若CD部分传送带的速度较大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，
则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a₂=g（-sinθ+μ₂cosθ）=10（-0.6+0.8×0.8）=0.4m/s²
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}$a₂t²_min，①
v₀=a₁t′②
①②联立解得：t_min=1s③
到达D点速度为v_D=v₀+a₂t_min④
②③④解得v_D=4.4m/s．
答：（1）从A点运动到B点的过程中，米袋与传送带之间因摩擦产生的热量为240J；
（2）CD部分传送带顺时针运转，若要米袋能以最短的时间从C端传送到D端，CD运转的速度应满足大于等于4.4m/s，米袋从C端传送到D端的最短时间为1s．

点评 本题难点在于通过分析题意找出临条界件，注意米袋在CD段所可能做的运动情况，从而分析得出使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短；本题的难度较大