Question

一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v₀，方向与ad边夹角为θ=30°，如图所示．已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力忽略不计）．
（1）若粒子带负电，且恰好能从d点射出磁场，求v₀的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v₀的取值范围，以及此范围内粒子在磁场中运动时间t的范围．

Answer 1

（1）若粒子带负电，且恰好能从d点射出磁场，它运动的轨迹如图1，

则运动的半径：R=

L

2

，
运动的过程洛伦兹力提供向心力，得：qv0B=

m v 20

R

整理得：ν0=

BqL

2m

（2）若粒子带正电，粒子运动的轨迹如右图所示，当粒子的速度大于与R₁相对应的速度v₁时，粒子将从dc边射出．
由几何关系可得：R₁=L①
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv1B=

m v 21

R1

②
当粒子的速度小于与R₂相对应的速度v₂时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：

1

2

L-R2=

1

2

R2 ③
由③式解得：R2=

1

3

L ④
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv2B=

m v 22

R2

⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得：v1=

qBL

m

；v2=

qBL

3m

⑥
所以v₀的取值范围是

qBL

3m

≤v0≤

qBL

m

⑦
从图中可以看出，当轨迹的半径对应R₁时从ab边上射出使用的时间最短，此时对应的圆心角为：
θ=180°-30°=150°
由公式可得：T=

2πR

v

=

2πm

qB

⑧
根据周期与运动时间的关系得：

θ

360°

=

t1

T

整理得：t1=

5πm

6qB

⑨
粒子在磁场中运动的时间最长，其做圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v₂时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是300°=

5

6

×2π，所以粒子在磁场中的运动时间也是

5T

6

，此即粒子在磁场中运动的最长时间．
所以粒子运动的最长时间为：t2=

5T

6

=

5πm

3qB

⑩
与粒子在磁场中运行时间相对应的t的大小范围是

5πm

6Bq

＜t≤

5πm

3Bq

：
答：（1）ν0=

BqL

2m

（2）v₀的取值范围

BqL

3m

≤ν0≤

BqL

m

，粒子在磁场中运动时间t的范围

5πm

6Bq

＜t≤

5πm

3Bq

．