Question

9．如图1所示，用一根不可伸长的轻质细线将小球悬挂在天花板上的O点，现将小球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成一夹角（该夹角小于5°）后由静止释放．小球的大小和受到的空气阻力忽略不计．
（1）证明小球的运动是简谐运动；
（2）由传感器测得小球偏离平衡位置的位移随时间变化的规律如图2所示，求小球运动过程中的最大速度值．

Answer 1

分析 （1）简谐运动的特征是F=-kx．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，在摆角θ＜5°，sinθ≈$\frac{x}{L}$，得到单摆的回复力与位移的关系式，即可证明．
（2）由图2可得到摆球的振幅A=0.08m，周期T=2s．根据单摆的周期公式救出摆长，由机械能守恒得最大速度．

解答 解：（1）设小球偏角为θ时离开平衡位置的位移为x，摆长为L，θ＜5°，则：
  x=θL
  sinθ≈θ
小球受到的回复力大小：F=mgsinθ
联立解得：$F=\frac{mg}{L}x$
且因F与x方向相反，故有F=-$\frac{mg}{L}$x，则小球做简谐运动．
ⅱ．由图2可知摆球的振幅A=0.08m，周期T=2s   
以摆球为研究对象：由周期公式：$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$
由机械能守恒：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}mv_{max}^2$
由三角函数知识：$1-cosθ=2{sin^2}\frac{θ}{2}≈\frac{θ^2}{2}$
由圆的知识：$θ=\frac{A}{L}$
联立解得：$v_{max}^{\;}=0.08πm/s$
答：
（1）证明见上．
（2）小球运动过程中的最大速度值为0.08πm/s．

点评 解决本题的关键要关键掌握简谐运动的特征，围绕这个特征分析单摆的回复力与位移的关系，从而进行证明．