Question

如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点衔接，A、B之间间距为L，半圆形导轨半径为R，一个质量为m的静止的小球在A处与一压缩弹簧靠在一起，释放小球后，小球开始向右运动，与弹簧分离后，经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的8倍，之后沿导轨运动到C点，已知小球与水平面AB间的动摩擦因数为μ，重力的加速度为g，求：
（1）释放小球前弹簧的弹性势能；
（2）小球运动到最高点C时对导轨的压力；
（3）小球离开最高点C后落回水平面时离B点的距离．

Answer 1

分析：（1）研究物体经过B点的状态，根据牛顿第二定律求出物体经过B点的速度，得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中，根据能量守恒定律求解．
（2）物体到达C点时，由重力和轨道的弹力的合力充当向心力，由牛顿第二定律求出小球运动到最高点C时对导轨的压力；
（3）小球离开最高点C后做平抛运动，根据平抛运动的规律和几何关系求解落回水平面时离B点的距离．

解答：解：（1）物块在B点时，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m

v 2 B

R

；
由题意：F_N=8mg
联立解得：v_B=

7gR

；
物体经过B点的动能：E_KB=

1

2

m

v

2 B

=3.5mgR；
在物体从A点至B点的过程中，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能：
E_p=E_kB+μmgL=3.5mgR+μmgL=mg（3.5R+μL）；
（2）物体到达C点时，支持力与重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：mg+N=m

v 2 C

R

，
小球从B到C过程，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律得：
mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 B

；
又 v_B=

7gR

；
联立上三式得：N=2mg，v_C=

3gR

根据牛顿第三定律得，小球运动到最高点C时对导轨的压力为：N′=N=2mg；
（3）小球离开最高点C后做平抛运动，则得：
竖直方向：2R=

1

2

gt2
水平方向：x=v_Ct
解得：x=2

3

R．
则小球离开最高点C后落回水平面时离B点的距离为2

3

R．
答：（1）释放小球前弹簧的弹性势能为mg（3.5R+μL）；
（2）小球运动到最高点C时对导轨的压力为2mg；
（3）小球离开最高点C后落回水平面时离B点的距离为2

3

R．

点评：本题的解题关键是正确分析物体的运动过程和状态，确定过程和状态遵守的物理规律，能根据牛顿第二定律求出物体经过B点的速度，再结合能量守恒定律和平抛运动的知识求解．